ARMONÍA MUSICAL
La geometria del sonido
Jovis Fernández de la Cruz Domínguez
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido www.lageometriadelsonido.com
ISBN: 978-84-09-33467-4 Depósito Legal: M-24 778-2021
Jovis Fernández de la Cruz Dominguez WWW.1OVIS.es
Primera Edición: Septiembre 2021
E
ÍNDICE GENERAL
PROLOGO. ur rsdota 6 1. FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA ARMONÍA MUSICAL -....oooccocccccccoconccccccnnnos 9 1.1 Propiedades del Sonido. .............oooooccoocccccccccccnccnccnnccnnnonnconnconoronoronaranoronanonoso 10 1.2 Ondas estacionarias y Serie Armónica. .......coococcoccccnocnccnccnccncnncnncncnncnncnnonn 18 1.3 Intervalos musicales básicos de la serie armónica. Octava y quinta. .. 26
1.4 Origenes de las escalas pentatónica y diatónica. La afinación
DICAGONTCO.. iria 30
1.5 El temperamento igual de doce Sonidos. ...........occoocccoccccnccnnoccnnncnnnccnnoonnns 38 1.6 Afinación pitagórica, afinación temperada y serie armónica. .............. 46 1.7 Geometría del temperamento igual. .................ocoococcoccoccocconncnncnnnnncnncnnnnnos 92 2 INTERVALOS: pescar iaa 599 2d CUTAdo INCervallCOs ind 60 2.2 Intervalos invertidos y complementarios. ...........oooooccccocccccccccccnonononcnncnnnnnonos 70
2.3 Complementarios en la geometría del temperamento
5 [e (11. 1 OOO OP OOÓUÓO0ÓPÓO III 176 2.4 Intervalos de la serie Armónica. .......oococcoccoccccccoccncnncnocononononnnononnrnnnononarononannns 84 2.5 Serie Armónica invertida. .............oocccccoocncnocccnnccnnnconcnccnnnncnnnnccnnononnnconnnncnnnncnnnns 88 06. QUINTAS UI CUAFTAS.. a oe 92 2 INTervailo de ETIlONOs uniendo 96 2.8 Tercera mayor, sexta menor [y enarmónicos (b4-+5) ]. ............................... 102 2.9 Tercera menor, sexta mayor [y enarmónicos (+2-bb7) ]. .............................. 106 2.10 Séptima menor Y SEGUNÁA MAYOT. ...oooccoocccoccnnccccncccnoccnnconnnconnccnnnonnnocnnnconnnono 110 2.11 Séptima mayor Y SEGUNÁA MENOT. -..oooococccncccnccnnccnoconoconnco coronario nocnnronanonnnonos 114
0: ACORDES aus lco daa opt aparato 118 3.0 CiIfTAdO le ACOPAES: ii 119 3.1 Triadas DASICAS.. vtr id AA 120 3.2 ACOTAes de SODÍIMA. unn 128
2
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Índice general
3.3 Acordes suspendidos y triadas con nota agregada. .............oo.oococccccccconoco». 134
3. :ACOTaes de SEXTO: ina ceda 136 3.9 ACOTAES EXTERNAS. can 138 3.6 Inversión de acordes y disposiciones abiertas. .............oococconcocccccccncnoncncnnos 146 3.7 Disposiciones pOr CUAFÍAS. ........ooococccccococococococononononncncnnnnonononnnnnnnnnnnnnnnonnnananos 150 3.8 Disposiciones por segundas y "Clusters". ..........oooococcccccococncncncnnnoconononnnnnnnnos 156 3.7 POMAcCoOraes: musculo error rn aia oa: 158 4. MODOS GRIEGOS. MÚSICA MODAL Y TONAL - ..oonncccccncocccccnoooncccnonononocinnanónóno 162 4.0 Consideraciones previas y marco conceptual. .............oocococcccccccccncncccnnnnnnnos 164 AI COMPLEJO DIOLONICO:.. is sa 168 4.2 Relativos MAYOT-MENOF. oooocococccoccncncncncncnnnonnonononononnn nono nn nnnn non nono nono nn nnnnnnnnannnns 180 4.3 Tonalidades Mayores Y MENoOres. c...oooooccccccccncncncncncncnnnonnnncnonononon nono ncnnnannnnnnns 182 4.4 Funciones tonales en la tonalidad Mayor. ............oocococccocccncccccnnnncnnncnnnnnnnos 188 4.5 Funciones tonales en la tonalidad menor. ............ocooccccocncccccncncncnncncnononnnnnnnnos 198 4.6 Complejo Armónica Menor. ........ocoocooccccncccccccnocnccncnnconcnnronononnroncnncnnoncnnronnnnnnnos 206 4.7 Complejo Melódica Menor. ........oooocoococcnccnccncnncnocononcnncnnconononononnnnrcnrnnnnnnncnncnnnos 214 4.8 Ampliando la tonalidad Menor. .........oocococcccccncncococononcncorococononcncororororonnnnnnnns 223 4.9 Modulación y CAmbiO de tONoO. .......ooocooccccnccccnccnccnccnconcnncnnnnnnncononnrnnnnncnrnncnnnoss 226 ELO CAmbio de Modo. inci tac 234 4.1 L INTercambto MOAAL: anni 238 4.12 Dominantes secundarios y sustituto de tritono. .............oocococcocccncccccnccnno» 240 4.13 Complejo Armónica Mayor. ........o.ooccoccoccococcnccnccnccnconcnncnonnnnncnncnnonnnononrnnnnnnnnnos 246 4.14: DISMINUIAOS: emisario 250 4.15 Complejo Napolitana Menor. .........oooococcoccccncocnccoconcncnnnnccnnonnnnonnnnnnnnnnnnnnnnnnnos 256 4.16 Complejos primarios. ...........ocoococcoccccocncccnoconcnnocononcnnoncnnononnnnnnnnnanonnnnonnnnnnnnnnnono 260 4.17 Tetracordos y complejos Secundarios. ............ocoococcccocococcncncnonononononcnnnnanonos 204 4.18 Complejo Napolitana Mayor. ..........oooococcoococcocccccoconnncnnncncnnnnnnn nono coca nanonornnnnnnnns 214 4.19 Complejos pentatónicos Y hexatónicos. ....oooocooccoccccnoccncnocncnncnnconcnnnncnonononnos 276 4.20 Politonalidad y polimodalidad. .................oooococcccococccnonncncnnnncnnnononnnnnnnnonnons 286 3
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Índice general
5. DODECAÍSMOS occ coco ccoo co nonnoonnnnno nono nono cono nn nn n canon a anna n anna cnn nan nan nnaca cnica 289
5.1 Recapitulación de CONCEptoS prevlo0sS. ....ocoococcoccccnccncnconcnccncnncncnconcnncnconononnno 290 5.2 Hexátona de tonoS enteros. ....oocoococcoococccoconccnccccnncnncnncnnnncnnnnnonnonrnncnnnoncnnnnnnnnns 22 5.3 Octófona disminuida. ..........oooococcoccocnocnccnccncnocononcnnnoncnncnnnnnrnnnnrnnrnncnnrncnncnncnnnons 294 5.4 Hexatónica Tono Yy Medio - SEMÍtONO. .....ooooccocccccocnncncnccnccncnnccncnnonnnncnncnnnnnonn 298 5.5 Sistema axial Bartók. .............oooocooccoccocccooncccconocccncnononcnnronononnonnnnnoncnaronnnnnnnnnnns 300 5:0 ATMONTA EN ESPEJO: isimianiaaaiia 304 5.7 Desplazamientos del eje de Simetrla. ..............oocoococcccccncccoccnconcnnnnncncnncnnonanos 312 5.8 Complementarios en el Temperamento 24%. .......oococccccccocccococococoncnncncncnnnnnnos 320 3: ATMOnta. NEegatiDvA. e ae 322 LO TENCATONAS. oia 324 5.11 Modos de transposición limitada. ................oooooccccccnccncnncncononcnncnconcnncncnnononno 326 5.12 Música atonal y Dodecafonismo. ........oocoococccccnccncnocnncnonononcnncnonononnonccncnnnnnnns 334 6. SERIE ARMÓNICA Y COMPASES IRRACIONALES ..cccccincccccccconccccccnnnncccconnnnno 336 6.0 Motivación y declaración de intenciones. .........oocoococcccncccnccncocononocnncnncononnnon 337 6.1 Polirritmias en los intervalos de octava Y QUÍNÉA. .........ooooocccccccccccccccnnnonos. 340
6.2 Figuras rítmicas de la serie armónica y polirritmias entre sus
INTErvalOS. msnm rta co cete saltas ono 342 03 RIEMICON: naci a tad 350 6.4 Rítmica de la serie armónica invertida. .............oococcoonccccocccccoccnccnccncnnnnnnnns IZ 6.5 Armónicos e intervalos en una cuerda vibrante. ............ooccoccccccocccccoccnccncoos 398 6.6 Compases irracionales. ..............oooocococococococococococononoconoronononnnnnnn conc nnnrnnnonononnnnons 304 6.7 Adiestramiento en el manejo de los COMPpaSsSes. —......ooooccccccccnccccccnconononncncnnnos 372 6.8 Compases e intervalos. ...........ooococccccccccccncnoconononononnnnnonnnnrorororororarararararanananann 382 0.9 PREMIO CUENCIA. siena ice 391 6.10 Cambio de tono FÍÉMICO. —....oocoocoocooccnccnccnccnccnnccnnnnnnnnnncnncnncnnnnnnnnnnnnnnnonnnnnnnnnons 396 6.11 Valor añadido en el numerador del COMPAS. .....oooooococccccccnccncnconcnnoncnnnnnano 404 4
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Índice general
7. GEOMETRÍA MICROTONAL DEL TEMPERAMENTO IGUAL ..ocicccccccccoo 409
7.1 Temperamento igual Y MICrotonos. —.....ooococcocccnccccncccconnonononncnonarocnornrnonanna conos 410 7.2 Temperamento 8. cioooccocccncccccoccccocncnononorornr conan nro rnr nono nono rar nono nono ra nono nononanannss 416 a TEMPEeramento 1D. eraartitcn letter 417 Ti TEMPEeramiento:Ó. neta 418 Ti Temperamento. LS. att iii td tidniaia 419 7.0 MUTCIDlOS. Al OC: ni a 420 7.7 Temperamentos sin puntos de apoyo en el TEMPÍ2. ...............o............. 423 7.8 Cifrado interválico de los diferentes temperamentos estudia dOS: moriria aitor cclabcala ceba 424 7.9 Estructura rítmica del temperamento igual. ...............oocoococcccccccoccnccncnnnncnos 426 CONTEXTUALIZACIÓN HISTÓRICA —oocccccccccoococcconcoonooncnn nro ncon non n ron n ron ron r rara rrnnninos 435 O. ¿Que es la Historia amistat icrra caco 436 A a lA E 438 2 Ada ANTIQUA. np eanta 440 0 118 1 A A 492 F Baaa MOderTnO.. toni ts tots cacas 4597 5. Edad Contemporanea. .coococccoccncnocnccnococoncnnconcononnoncnncnnrnnnonnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnoncnnnnnnns 466 O) Panorama actual. usuaris oescoi 486 BIBLIOGRARÍA creed to can 488 5
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PRÓLOGO
Han transcurrido casi seis años desde que comencé a desarrollar este trabajo y son incontables las horas de estudio y entrega que le he dedicado hasta darle forma y por fin acabarlo.
Inicialmente, la pretensión de este libro no ha sido tanto querer enseñar a quien se interesa en el estudio de la armonía, sino más bien la de tratar de aprender y comprender por mí mismo el porqué de muchas cuestiones que me venían rondando desde hacía tiempo.
Personalmente, este ejercicio me ha resultado de gran utilidad para organizar, estructurar y ampliar los conocimientos e intuiciones previos que manejaba, en los que quedaban demasiados cabos sueltos. Ha sido un proceso verdaderamente apasionante y es mucho y muy valioso lo que me ha aportado.
Ahora que está terminado, se presenta el momento de compartirlo con quienes tienen en común esta gran inquietud. Espero que sea de gran utilidad tanto para aquellos que realizan sus primeras incursiones como para los más eruditos en la materia, ya que creo que el enfoque y muchos de los asuntos tratados no son habituales en publicaciones de este tipo.
Quizás debido a una forma excesivamente racional de entender cómo funcionan las cosas, no me encontraba satisfecho con un enfoque teórico exclusivamente musical a la hora de estudiar armonía. Sentía la necesidad de saber qué es lo que sucede fisicamente.
Visualizar las notas musicales en términos de frecuencia y longitud de onda aporta una visión muy Clara a la hora de comprender las relaciones existentes entre intervalos. No son necesarias matemáticas demasiado complejas para apreciar la proporcionalidad entre los sonidos de la serie armónica o para explicar en qué consisten la afinación pitagórica o el temperamento igual.
Este es precisamente el punto de partida desde el que comenzamos nuestro estudio. En primer lugar definimos cuál es el comportamiento elemental del sonido y en qué consisten las ondas estacionarias que dan lugar a la aparición de las notas musicales. Este fenómeno es el que establece cuáles son las consonancias más básicas y es el origen de los diferentes modelos de afinación. Una vez contamos con una serie de notas, establecer un cifrado interválico es imprescindible para manejarnos con soltura y poder seguir avanzando.
Para organizar y clasificar lo mejor posible los contenidos de este volumen los he repartido en siete bloques. En el primero abordamos los fundamentos físicos de la armonía como ya hemos referido. El segundo está dedicado al estudio de los intervalos estableciendo un paralelismo entre los principales sistemas de afinación.
El tercero analiza los principales acordes empleados en armonía moderna y el cuarto el uso modal y tonal de los modos griegos. Aunque no era mi intención inicial dedicarle demasiada atención a la armonía funcional (puesto que hay mucho material y de gran calidad al respecto), finalmente estos dos bloques son claramente los que más tiempo y más páginas me han consumido. No podía pasar por alto los conceptos que aquí se trabajan y a medida que se fue desarrollando me fui dando cuenta de que el contenido y el enfoque puede ser de gran utilidad, especialmente para la estructuración de las escalas modales.
La quinta parte analiza las repercusiones que el sistema geométrico de doce sonidos ha tenido en la música occidental desde finales del XIX y sobretodo en el siglo XX. La armonía en espejo,
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Prólogo
los modos de transposición limitada, el sistema axial Bartók o el dodecafonismo son algunas de las técnicas derivadas del modelo temperado que analizamos en este bloque.
La sexta parte es sin duda la apuesta más arriesgada y una de las principales motivaciones que me impulsaron. Constituye un exhaustivo análisis de la serie armónica a partir de la proporcionalidad rítmica existente entre las frecuencias que la componen. A lo largo de estos capitulos se desarrollan en paralelo el ritmo de la armonía así como la armonía del ritmo, por lo que además de profundizar en conceptos armónicos, llevamos a la vez un interesante estudio rítmico basado en la idea de los compases irracionales. (Son compases trracionales aquellos que contienen un número diferente a la serie exponencial de dos en el denominador, como por ejemplo 4/5).
En el séptimo y último bloque estudiamos las posibilidades microtonales derivadas del temperamento igual, en el que la octava es dividida por intervalos proporcionalmente iguales entre sí. Proponemos un cifrado para el manejo de los intervalos microtonales obtenidos y establecemos un interesante paralelismo geométrico con el estudio rítmico de la serie armónica desarrollada durante el bloque anterior.
Estudiar la música a través de la geometría resulta sin lugar a dudas una manera extraordinaria para comprender mejor cómo está estructurada. Facilita muchisimo la visualización de los conceptos y permite establecer relaciones que de otro modo son complicadas de apreciar.
Abundan los gráficos y las tablas. Creo que resultan de gran utilidad y confio en que harán de este libro una herramienta muy valiosa. Espero que pueda servir como manual de consulta en la biblioteca de cualquier músico.
Finalmente se incluye la contextualización en la que me he basado para los aspectos históricos del estudio. Le he dado bastante importancia a estas cuestiones y me ha parecido interesante añadirla, creo que aporta cosas muy interesantes.
De manera adjunta incluimos también un rosco giratorio de cuatro piezas que resultará de gran ayuda para el estudio de la segunda, tercera y cuarta parte.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Prólogo
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Prólogo
1. FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA ARMONÍA MUSICAL
1.1 Propiedades del sonido.
1.3 Intervalos musicales básicos de la serie armónica. Octava y quinta.
1.4 Origenes de las escalas pentatónica y diatónica. La afinación pitagórica.
1.6 Afinación pitagórica, afinación temperada y serie armónica.
1.7 Geometría del temperamento igual.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
1.1- PROPIEDADES DEL SONIDO
Por definición el sonido es un fenómeno fisico que se produce cuando un objeto al vibrar provoca la propagación de ondas en un medio sólido, liquido o gaseoso. Es una forma de energía mecánica y como tal responde a las leyes newtonianas del movimiento.
Las ondas del sonido se propagan de manera parecida a las ondas que provoca una piedra al caer en el agua.
El movimiento pendular de un objeto al vibrar empuja las moléculas que hay a su alrededor. Estas a su vez transmiten el movimiento en cadena a las siguientes moléculas y se genera el movimiento ondulatorio. El sonido implica únicamente transporte de energía, no de materia. No se produce en el vacio pues es necesario un soporte material para su propagación. La velocidad del sonido varía en función del medio en el que se desenvuelve. Es mayor cuando la densidad es más alta por ser menor la distancia entre las moléculas. Adquiere mayor velocidad en el medio sólido que en el liquido y es más lento en el medio gaseoso. En un medio elástico como es el aire la onda de presión que provoca el sonido comprime las moléculas haciendo que estas se aproximen mucho entre sí. Con la descompresión las moléculas se separan para volver a su lugar de origen. La compresibilidad y la densidad de un medio gaseoso varía mucho en función de la presión y la temperatura, de manera que son muchos los factores que influyen en la propagación del sonido.
El oído es un complejo órgano diseñado para captar las vibraciones acústicas que se propagan por el aire. Cuando las ondas de sonido alcanzan los timpanos estos se estimulan con la vibración y el aparato auditivo traduce los movimientos vibratorios en impulsos nerviosos que a continuación serán procesados por el cerebro para su identificación e interpretación.
Al igual que sucede con las ondas de movimiento en el agua, cuando el sonido topa con una pared o con un objeto se produce un rebote de la onda conocido como reflexión.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
La reflexión depende y varía en función del material de la pared u objeto con el que topa la onda. Cuando el material es absorbente el sonido se amortigua y la onda se desvanece. En este caso el rebote no se produce.
La reflexión explica fenómenos acústicos como la reverberación, el eco y las ondas estacionarias.
La reverberación consiste en una ligera permanencia del sonido una vez la fuente detiene la emisión. Es la suma total de todas las reflexiones originadas en la sala. Se cuantifica mediante el "tiempo de reverberación" que es el tiempo que transcurre entre que se detiene la emisión y desaparece el sonido.
Cuando la pared donde rebota el sonido se encuentra a una distancia de más de 17 metros se produce el eco. El tiempo que transcurre desde que emitimos un sonido hasta que este rebota en un obstáculo lejano y regresa a nuestra posición hace que percibamos la reflexión como una repetición del sonido.
El fenómeno de las ondas estacionarias sucede cuando el sonido queda atrapado entre dos o más obstáculos enfrentados. Las repetidas reflexiones que se producen provoca la aparición de ondas estables que viajan constantemente de un obstáculo al otro interfiriendo entre sí en torno a un mismo eje. El resultado de las fuerzas vectoriales que ejercen estas ondas da como resultado las onda estacionarias, caracterizadas por la anulación del movimiento vibratorio en los puntos fijos denominados nodos y por duplicar el movimiento vibratorio en los puntos denominados vientres o antinodos.
1 Vientre Mientre Ñ
Otbstáculo
—> €= > Nodo Nodo Nodo < => Obstáculo ( ONDA ( ST ACIONARIA% Vistes
Las ondas estacionarias se generan en los movimientos vibratorios de la cuerda, también en las columnas de aire contenidas en los tubos, en las membranas y en todo tipo de objetos. El movimiento estable de las ondas estacionarias genera sonidos con una oscilación que se repite periódicamente con un ritmo constante. Cuando esto sucede aparecen las notas musicales
Las ondas estacionarias explican a su vez el fenómeno de la resonancia acústica. Cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a una vibración periódica similar a su periodo de vibración, el cuerpo comienza a vibrar por simpatía multiplicando la fuerza original. Por esa razón una cantante soprano es capaz de reventar una copa de cristal al entonar con fuerza la frecuencia de resonancia de la copa.
Para obtener el registro de las ondas de sonido y estudiar su comportamiento se inventó el fonoautógrafo. Este aparato patentado en 1857 por el francés Édouart-Leon Scott permite registrar de forma gráfica las ondas del sonido, aunque no será posible después reproducirlas hasta la invención del fonógrafo de Edison dos décadas más tarde.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ss 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
El fonoautógrafo consiste básicamente en una membrana que vibra excitada por las ondas del sonido unida a una aguja que imprime el movimiento de la membrana en un cilindro registrador que gira con una velocidad constante.
Cilindro registrador
Analizando el registro gráfico de una onda de sonido determinamos cuales son las partes de las que consta.
¡¿Lomagtud — <= | Eresta
| de ónda
El eje horizontal en torno al cual se mueve la curva del sonido representa el paso del tiempo. El movimiento constante del cilindro registrador de nuestro fonoautógrato hace posible que la aguja impresora unida a la membrana dibuje el movimiento de la onda de sonido en el transcurso del giro.
La amplitud de onda es la distancia existente entre la cresta o el valle de la onda y el eje. Hace referencia a la fuerza o cantidad de energía que transporta la onda de sonido. Cuanto mayor es la amplitud de onda mayor es el volumen al que suena. En los momentos de silencio al no existir movimiento de la membrana la aguja impresora dibujaría una linea recta sobre la linea de tiempo.
Silencio
La longitud de onda se define como la distancia entre dos puntos que están en el mismo estado de vibración. Se expande a lo largo de la linea de tiempo realizando un movimiento ondulatorio completo hasta volver a la posición de origen. La longitud de onda se repite ritmicamente manteniendo en bucle el mismo patrón.
Se denomina periodo al tiempo que transcurre hasta que se completa la longitud de onda al completo. El número de ciclos completos que realiza una onda en una determinada unidad de tiempo es la frecuencia.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido e 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
La unidad de medida para medir la frecuencia de una onda es el Hertzio (Hz). 1 Los hertzios miden el número de ciclos que realiza una onda en un segundo.
1 segundo
fÑ WN | ¡MI A p | A AÑ h P P P l.. AMADA DARA OOOO UVUV VU UV IU UV WN
O Hz
En el gráfico anterior están representadas las frecuencias 10 y 20 hertzios. En el transcurso de un segundo la onda completa se repite diez veces en el primer caso y veinte veces en el segundo. Para que esto suceda la longitud de onda ha de ser la mitad en el caso de los 20 Hz. Dos periodos de 20 Hz tienen la misma duración que un periodo de 10 Hz.
Es necesario aclarar que la longitud de onda tiene una dimensión espacial real. En el fonoautógrafo queda representado gráficamente el tiempo que la onda emplea en completar su periodo, pero para calcular la longitud de onda real es necesario establecer la relación que existe entre la velocidad de propagación del sonido y el tiempo que la onda ha empleado en realizar un ciclo completo para saber cuánto espacio ha recorrido. Por ejemplo, en el aire con una frecuencia de 10 Hz la "longitud de onda real" mide 34 metros . Si la frecuencia es de 20 Hz la longitud de onda real será justamente la mitad, es decir 17 metros.
Longitud de onda real
10 Hz 34 metros
17 metros Longitud de onda real 20 Hz
El oido humano tiene la capacidad de percibir sonidos comprendidos entre los 20 y los 20.000 Hz. Las frecuencias altas se corresponden con los sonidos agudos, mientras que las frecuencias bajas se corresponden con los graves. Las vibraciones con frecuencias inferiores a los 20 Hz se denominan infrasonidos, mientras que las vibraciones que se sitúan por encima de los 20.000 Hz son ultrasonidos.
10 Ha 20 HZ 300 Hz 1.000 Hz 20.000 Hz 50.000 Hz
Infrasonidos Espectro auditivo Ultrasonidos
Graves Medios Agudos
* En honor a los estudios ondulatorios del físico Rudolf Hertz.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ES 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
CUALIDADES BÁSICAS DEL SONIDO
Para describir la naturaleza de un sonido o para establecer una comparativa con otros sonidos manejamos en todo momento conceptos que giran en torno a las cuatro cualidades básicas del sonido. Estas son duración, intensidad, altura y timbre.
1.DURACIÓN
La duración hace referencia al tiempo que dura un sonido. En términos musicales utilizamos una comparativa proporcional para establecer la duración de los sonidos con las figuras rítmicas.
ON
ld dd Y A) iii dad
En una partitura la duración de los silencios también se indica con figuras rítmicas con proporciones equivalentes a las anteriores.
o da dl 1 3/
2.INTENSIDAD
La intensidad hace referencia al volumen al que suena un sonido. Está relacionada con la amplitud de onda. Como vimos anteriormente los sonidos fuertes tienen una amplitud de onda grande mientras que los sonidos suaves tienen amplitud de onda pequeña.
En acústica para comparar el volumen de los sonidos se suele utilizar el decibelio (1B) como unidad de medida. Un decibelio es la décima parte de un belio. Recibe este nombre en honor al cientifico Grahan Bell. El decibelio expresa la relación existente entre dos valores. Es una expresión logarítmica relativa, porque indica cuantas veces más suena un sonido con respecto a otro.
Es necesario establecer un valor de referencia en primer lugar, habitualmente el umbral mínimo de percepción humana del sonido (20 micropascales). El valor de referencia se sitúa en los O dB. Un sonido con 10 dB es 10 veces más potente que el sonido de referencia, un sonido con 20 dB es 100 veces más potente, con 30 dB 1000 veces más, y así sucesivamente...
Se establece el modelo logarítmico relativo debido a que la sensibilidad auditiva sigue un patrón similar para comparar el volumen de los sonidos. Los conceptos de sonido fuerte o débil son relativos, varian en función de una referencia. La acústica fisiológica ha demostrado que una persona al escuchar un sonido aislado no es capaz de dar una indicación fiable sobre su intensidad. Cuando escucha dos sonidos es capaz de establecer una comparativa entre ambos.
El umbral del dolor se sitúa en torno a los 130 dB, a partir de este volumen el oido puede sufrir daños y pérdida de audición. Como es lógico tanto el umbral mínimo de percepción como
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ES 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
el umbral del dolor no es el mismo en todas las personas, varía en función de la edad y también depende de la frecuencia del sonido.
Medición de ruidos en decibelios
En términos musicales se utilizan los matices dinámicos para indicar en una partitura si es necesario interpretar la pieza con más fuerza o suavidad. La dinámica hace referencia a las graduaciones de intensidad. Se basa en conceptos subjetivos que dejan en manos de la interpretación personal y emocional del intérprete la manera de llevarlos a cabo. Los simbolos empleados se diferencian en "dinámica de grados” y "dinámica de transición” .
Dinámica de grados.
Los simbolos de la dinámica de grados establece diferentes grados de intensidad para la ejecución de una partitura atendiendo a la diferencia entre sonido fuerte y sonido débil. Se utiliza para ello la terminología italiana. "Piano” significa suave y "forte" quiere decir fuerte.
PPP pianississimo PP piíanissimo P piano
mp mezzopiano mf mezzoforte vi forte
va fotíssiímo
FÍf forrtíssissimo
Dinámica de transición.
Los simbolos de dinámica de transición establecen la transición progresiva entre diferentes grados de intensidad. Al igual que con los simbolos de la dinámica de grados empleamos la terminología italiana.
Para indicar el aumento paulatino de intensidad se utilizan los siguientes:
Cesc. crescendo LUN. aumentando Para la disminución de intensidad: decresc. decrescendo dim. diminuendo mor. morendo Perd. perdendosí shiny. stinguendo 15
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Los "reguladores de intensidad” son también simbolos utilizados para indicar la dinámica de transición. Consisten en dos líneas formando un ángulo agudo dibujadas encima de las lineas del pentagrama que nos indican la dinámica que debemos de utilizar en la interpretación de la
partitura.
cresc. Aecresc.
3. ALTURA
La altura hace referencia a la frecuencia a la que vibra un sonido. Como vimos anteriormente las frecuencias bajas se corresponden con los sonidos graves y las frecuencias altas con los sonidos agudos.
Es preciso aclarar la diferencia existente entre los denominados sonidos determinados y los sonidos indeterminados.
Los sonidos determinados se caracterizan por vibrar con una frecuencia rítmica clara y constante, generalmente ocasionadas por la vibración de una onda estacionaria. En los sonidos indeterminados no es posible identificar un patrón vibratorio claro y constante porque se mezclan diferentes frecuencias sin ningún tipo de orden ni proporcionalidad aparente.
Los sonidos determinados dan lugar al fenómeno de las notas musicales. Nuestro oido es capaz de reconocer la vibración cíclica de un sonido determinado. Es más, con cierto entrenamiento es incluso capaz de comparar la proporción existente entre dos sonidos con diferente frecuencia de vibración. A cada nota musical le corresponde una frecuencia concreta. Si subimos por orden ascendente en la escala diatónica cada nota tiene una frecuencia de vibración superior a la anterior, es decir, es más aguda.
e A
AE lo [| 7 | 8
De Do a Do' hay ocho notas en la escala diatónica, por eso decimos que existe un intervalo de octava entre estas dos notas. La frecuencia de Do' es justo el doble con respecto a Do.
Í(do) x 2 = Í(do”)
Cuando nuestro oido escucha una nota al doble de frecuencia con respecto a otra percibe la sensación de estar escuchando la misma nota en una octava superior. Por esa razón desplegamos la escala diatónica de forma repetida a lo largo de las diferentes octavas en nuestro rango auditivo.
DO | 130,580 Hz MY DO' | 261,62 Hz [MN DO" | 523,25Hz RE | 146,53 Hz [MB RE' | 293,66 Hz [MN RE" | 587,32 Hz MI | 16481 Hz PM] MI” | 32962 Hz [PM MI" | 659,25 Hz —
FA | 17461 Hz Pé FA' | 34922Hz BO FA" | 698,45 Hz | SI | 246,94 Hz MB] SI” | 493,88 Hz MB] SI" | 987,76 Hz
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 6 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
4. TIMBRE
El timbre es la cualidad acústica que nos permite diferenciar los diferentes instrumentos musicales y también las voces de las personas por su sonido característico. Se define como la identidad acústica de cada instrumento o voz.
Cuando dos instrumentos distintos, por ejemplo la guitarra y la flauta, ejecutan una misma nota el sonido es aun así diferente. A pesar de emitir exactamente la misma frecuencia fundamental el resultado no es igual como consecuencia de la diferencia timbrica que existe entre los dos instrumentos.
Esto es debido al espectro armónico que define la naturaleza timbrica de cada sonido. Cuando se produce el fenómeno de las ondas estacionarias se genera una serie de frecuencias proporcionales entre sí conocida como serie armónica. La primera frecuencia de la serie es la frecuencia fundamental y es la que nuestro oido reconoce habitualmente como nota musical. Las demás frecuencias acompañan a la fundamental generando la sensación timbrica. El timbre de un instrumento o voz se define por la intensidad a la que vibra cada armónico de la serie.
La formación de armónicos en ondas estacionarias es un fenómeno complejo fruto de la interacción entre las diferentes fuerzas vectoriales que interfieren entre sí cuando se produce un movimiento vibratorio en un cuerpo con un determinado periodo de vibración. En el siguiente capitulo estudiaremos con más detalle cómo se forman las ondas estacionarias y cómo se ordena el espectro armónico. Las proporciones de la serie armónica constituyen la base para el desarrollo de los modelos teóricos en la armonía musical.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ed 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
1.2- ONDAS ESTACIONARIAS Y SERIE ARMÓNICA
Como vimos en el capítulo anterior, las ondas estacionarias se generan en los movimientos vibratorios de la cuerda, en las columnas de aire contenidas en los tubos, en las membranas y en todo tipo de objetos, incluso entre las paredes de una sala.
Cuando el sonido queda atrapado entre dos o más obstáculos enfrentados, como consecuencia de las reflexiones que se producen aparecen ondas estables que viajan constantemente de un obstáculo al otro interfiriendo entre sí en torno a un mismo eje.
Una onda con longitud de onda determinada topa con uno de los obstáculos, se produce la reflexión y aparece la onda reflejada con igual longitud de onda pero con dirección opuesta.
Onda original Onda original * ——=
El resultado de las fuerzas vectoriales que ejercen las continuas reflexiones de estas dos ondas es la aparición de la onda estacionaria. En los puntos donde coincide el valle de una onda con la cresta de la otra el movimiento vibratorio se anula. estos puntos de denominan nodos.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 58 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
En los lugares donde las crestas y los valles de una onda coinciden con los de la otra se duplica la amplitud de la onda resultante. Estos puntos se denominan vientres o antinodos.
2 Antinodo
Antinodo Antinodo
Los nodos y los antinodos son puntos fijos en el eje de la onda estacionaria, de ahí su nombre. La onda estacionaria no se desplaza de un lado hacia el otro. Los antinodos suben y bajan en torno a un punto fijo del eje en función de la posición en la que se sitúan las ondas que reflexionan.
3 | Antinodo | Antinodo | | | | Bl. h | d h SIP d ] in 0 Y dl odo.l- odo odo OJO. gn pl F h a sn | a | x | 7 | Ni > a N od El Y / "A A / S y NS | y o | ES | e | Y NN ' | lao e pñA yd | Me ad A | e LS ¿— Lo | XX k— 2 | % | Antinodo | Antinodo |
La dirección opuesta de las ondas que continuamente reflexionan entre dos obstáculos provoca que estas entren en fase y desfase ciclicamente dando lugar al movimiento pendular de los antinodos en la onda estacionaria.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido me 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
El movimiento de la onda estacionara se resume en estos cuatro estados y se repite de manera constante.
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| — EF. | CnoqosN | | y rs | rl | Ny | y | e] Na NS si
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7 E
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
SERIE ARMÓNICA
Por lo general cuando se da el fenómeno de las ondas estacionarias, por ejemplo en el movimiento vibratorio de una cuerda o en la vibración de una columna de aire contenida en un tubo, no se produce una única onda estacionaria. Se genera una serie de ondas estacionarias ordenadas proporcionalmente por su longitud de onda conocida como serie armónica.
La intensidad a la que vibra cada armónico de la serie define como resultado final el timbre de una voz o instrumento.
La serie se ordena por el número de nodos que tiene cada armónico. la primera onda estacionaria de la serie define la frecuencia fundamental, es decir, la frecuencia que nuestro oido reconoce como nota musical. Tiene solamente dos nodos situados en los dos obstáculos que provocan las reflexiones.
Arm 1 (Frecuencia fundamental) —L-
Su longitud de onda real es dos veces la distancia entre los dos obstáculos. En el caso de una cuerda dos veces la longitud de la cuerda.
Arm 1 longitud de onda = 2 x dist(a-8)
dist(A-B) Fis 37
El segundo armónico de la serie tiene tres nodos. Dos en los dos obstáculos y uno justo en la mitad.
¡Arm 2
La longitud de onda del segundo armónico es igual a la distancia que existe entre los dos obstáculos, es decir la mitad con respecto a la longitud de onda del primer armónico. En consecuencia el "armónico 2" emplea la mitad de tiempo para completar su periodo. Dicho de otra forma; en el tiempo que el "armónico 1" completa un ciclo completo el "armónico 2" completa dos ciclos completos.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ss 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
longitud de onda (Arm 1)
2 X longitud de onda (Arm 2)
Por lo tanto la frecuencia del "armónico 2" es el doble con respecto a la frecuencia del "armónicol."
Í(arm2) =2x flarm1)
El tercer armónico tiene cuatro nodos. Dos en los extremos y otros dos dividiendo la longitud de la cuerda o tubo en tres partes iguales.
Arm 3
La longitud de onda del "armónico 3" es tres veces más pequeña que la longitud de onda del "armónico 1". En el tiemplo que emplea el "armónico 1" para completar su periodo el "armónico 3" completa tres periodos.
longitud de onda (Arm 1)
3 x longitud de onda (Arm 3) | | | | | |
La frecuencia del "armónico 3" es tres veces más alta con respecto a la frecuencia fundamental.
Í(arm3) =3x flarm1)
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido a 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Cada armónico que aparece en la serie tiene un nodo más que el anterior. Los nodos se reparten a lo largo de la cuerda o tubo dividiéendola en partes iguales.
/(Arm 1 (Frecuencia fundamental)
¡Arm 3
SÓN LUN NY X_Y ION XT XA NS IX IA NON AU AA, INIA YN
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
La longitud de onda de cada armónico es proporcionalmente más pequeña con respecto a la fundamental multiplicandose en consecuencia su frecuencia.
longitud de onda (Arm 1)
' FUNDAMENTAL
2 x longitud de onda (Arm 2) |
fíarm2) = 2 x f(arm1)
fi arm3) = =3 x fi arm?)
¡4 x longitud de onda (Arm 4) y |
fíarma) = 4 x f(arm1)
fíarms) = 5 x Í(arm1)
fi arm6) = =6Bx fi arm?)
fíarm7) = 7 xÍ(arm1)
fíarm8) = 8 x fi arm?)
El problema de la cuerda vibrante suscita gran interés entre los fisicos del s.XVIII y principios del XIX. El comportamiento sinusoidal de la frecuencia fundamental se ve alterada por las frecuencias proporcionales de la serie armónica. Aplicando las leyes mecánicas de Newton era necesario explicar cómo hace la cuerda para moverse de tantas maneras diferentes al mismo tiempo. Los cálculos y las demostraciones de Taylor, D'Alembert, Daniel Bernoulli, Euler, Fourier y Dirichlet terminan por constatar que la cuerda vibra acumulando una suma ponderada de armónicos conocida como “Serie de Fourier”. Los coeficientes de la
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ee 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
serie de Fourier varían en función de la intensidad con la que vibran los diferentes armónicos determinando el timbre del instrumento. La onda resultante es fruto de la interacción de fuerzas entre la fundamental y sus armónicos. En el siguiente gráfico ilustramos a modo de ejemplo el resultado de la combinación entre la frecuencia fundamental y el "armónico 2”.
e Y “ Y 0
Fundarnmental
an la a do Awrrmónico 2
Resultante = Fund + Arm 2
Curiosamente la "Serie de Fourier" forma parte de publicaciones que realiza su autor sobre la transmisión del calor en sólidos y no sobre acústica. Fourier conocía los estudios previos de D'Alembert, Bernoulli y Euler sobre la cuestión de la cuerda vibrante y termina por encontrar la respuesta al comportamiento sinusoidal interferido de las ondas en su estudio termodinámico. Posteriormente Dirichlet refuerza la base y el fundamento matemático de la teoría con una mayor precisión. Las aplicaciones de la serie de Fourier son actualmente múltiples en cuestiones de acústica, Óptica, ingeniería electrónica y telecomunicaciones para el procesamiento de señales, compresión y transmisión de datos, sistemas inalámbricos, también en estudios de fisica cuántica...
El desarrollo teórico y matemático del fenómeno de los armónicos naturales alcanza su pleno desarrollo con la fisica postnewtoniana de los siglos XVIII y XIX. Sin embargo es una realidad que se experimenta con facilidad, probablemente vivenciada por la humanidad desde tiempos inmemoriales.
Cualquier instrumentista de cuerda sabe que al pulsar una cuerda colocando con suavidad un dedo sobre ciertos puntos se obtienen diferentes armónicos. Estos puntos son los nodos de las ondas estacionarias contenidas en la cuerda. Al colocar un dedo sobre uno de los nodos se anulan todos los movimientos vibratorios de la cuerda excepto el correspondiente a la onda estacionaria que justo en ese punto no vibra.
También en los tubos conseguimos hacer sonar los diferentes armónicos que este contiene alterando la manera de soplar. Existen incluso "flautas de armónicos" con las que se puede hacer melodías con los armónicos naturales del tubo. Este tipo de flautas son propias de la música tradicional africana, aunque también se dan en el folclore escandinavo.
En los instrumentos de viento metal (como por ejemplo la trompeta) se obtienen las notas de la triada manteniendo una misma digitación. Esto también se explica por el fenómeno de los armónicos naturales.
Existe además una técnica vocal llamada "canto difónico" que permite a un solo cantante realizar dos melodías simultaneas. Cantando una nota grave y proyectando sobre los diferentes resonadores fonadores el vocalista consigue hacer una melodía paralela con los armónicos naturales de su propia voz. Este tipo de canto es propio del folclore mongol.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 2 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
1.3- INTERVALOS MUSICALES BÁSICOS DE LA SERIE ARMÓNICA. OCTAVA Y QUINTA.
Las proporciones de la serie armónica son de gran importancia en estudio de la armonía musical. Suponen el punto de partida en el desarrollo teórico de cualquier modelo. El origen de las escalas y los conceptos de consonancia y disonancia a lo largo de la historia se rigen tomando como referencia los primeros intervalos que aparecen en la serie.
INTERVALO DE OCTAVA
Desde Do hasta el siguiente Do contamos ocho notas en la escala diatónica. Por eso decimos que existe un intervalo de octava entre ellas. Como ya vimos en el capitulo "1.1- Propiedades del sonido" la relación entre la frecuencia de una nota y la de su octava es del doble.
Í (do) x 2 = Í (do”) A A SA O A EC E IA
Y DO” |RE| MI | FA | SOL | LA | SI | DO” 130,801 | | [| | | | | 261,60m
La nota Do vibra 130,80 veces en un segundo, mientras que su octava Do” lo hace 261.60 veces, justo el doble. Nuestro oido reconoce una similitud entre estas dos frecuencias, lo que provoca que la identifiquemos como una misma nota.
La longitud de onda de Do” es la mitad con respecto a la de Do, así pues Do” se corresponde con el segundo armónico de Do.
longitud de onda Do
Do (frecuencia fundamental)
2 x longitud de onda Do”
Do (Armónico 2)
Las sucesivas octavas de una nota se obtienen multiplicando por dos el valor de cada frecuencia en la serie. El crecimiento entre octavas es en consecuencia exponencial.
94 DO PBI nor BY
130, 80 Hz 261,62 Hz 923,20 Hz 1046,50 Hz
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 20 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Todas las octavas superiores de una nota están contenidas en su serie armónica. Se corresponden con los armónicos 2,4,8,16,32, etc... Dos veces dos es cuatro, dos veces cuatro es ocho, dos veces ocho es dieciseis...
longitud de onda Do
Do (frecuencia fundamental)
2 Xx longitud de onda Do”
Do (Armónico 2)
| | 4 x longitud de onda Do”
Do (Armónico 4)
8 Xx longitud de onda Do” Do (Armónico 8)
NANI N
INTERVALO DE QUINTA
Desde Do hasta Sol contamos cinco notas en la escala diatónica, por eso decimos que existe un intervalo de quintas entre ellas. El intervalo de quinta se considera el segundo con mayor consonancia por detrás del intervalo de octava. Su frecuencia tiene relación directa con el tercer armónico de la serie, por esa razón cuando ambas notas suenan al mismo tiempo el resultado es poderoso y proporcionado.
La longitud de onda del tercer armónico es tres veces más pequeña que la de la frecuencia fundamental, por lo tanto su frecuencia es el triple. 1
longitud de onda (Frecuencia fundamental)
0 3 x longitud de onda (Arm 3) | | | | | |
1 z % A ó s Longitud de onda y frecuencia son magnitudes inversamente proporcionales
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido si 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Al multiplicar por tres la frecuencia de Do obtenemos la frecuencia correspondiente a Sol en el registro de la segunda octava.
Í (do) x 3 = Í (sol) Do | Re | Mi|Fa|Sol| la | Si|Doo| Re |M'|Fa | Sol |
Para saber el valor de Sol en su octava grave simplemente dividimos entre dos la frecuencia de Sol'.
Í (sol) : 2 = Í (sol)
130,80 Hz AAA 196,20 Hz
La relación entre la frecuencia de una nota y su intervalo de quinta es por lo tato de tres medios.
Í (do) x 3/2 = Í (sol)
Las sucesivas octavas superiores de Sol” también forman parte de la serie armónica de Do. Se corresponden con los armónicos 6,12,24,etc.. Dos veces tres es seis, dos veces seis es doce, dos veces doce es veinticuatro..
392,402 MO 784,80 hz OM 1569,60 m2 MO 3139,20 Hz
Do (Arm 3) Do (Arm 6) Do (Arm 12) Do (Arm 24)
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido zS 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
En los primeros ocho sonidos de la serie armónica los intervalos de octava y quinta se disponen de la siguiente manera:
longitud de onda (Arm 1)
FUNDAMENTAL Do
2 x longitud de onda (Arm 2) |
flarm2)=2 xfíarm) Do” Octava
3 x longitud de onda (Arm 3) | |
flarm3) = 3 x fíarmty Sol” Quinta
¿4 x longitud de onda (Arm 4) | |
fíarm4) = 4 xfíarm) Do” Octava
flarm5) = 5 x farm)
flarm6) =6 xfíarmt) Sol” Quinta
flarm?7) = 7 xf(arm1)
flame) = 8 xf(armt) Do” Octava
Los armónicos cinco y siete se relacionan con los intervalos de tercera mayor y séptima menor como tendremos ocasión de estudiar más adelante. A partir de la proporción del intervalo de quinta obtenemos las notas de la escala pentatónica y de la escala diatónica.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Sá 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
1.4- ORIGEN DE LAS ESCALAS PENTATÓNICA Y DIATÓNICA. LA AFINACIÓN PITAGÓRICA.
Según una antigua leyenda China, el emperador "Huang-Ti" encarga al filósofo "Ling-Lu” el cometido de estudiar la relación existente entre la música y las leyes que rigen el universo. Soplando en tubos de bambú de diferentes medidas "Ling-Lu" observa la proporcionalidad de los sonidos resultantes cuando los tubos son cortados siguiendo ciertas proporciones. 1
Cuando un tubo es cortado por la mitad su longitud de onda también se recorta. La frecuencia
se duplica y en consecuencia obtenemos la misma nota una octava por encima. 2
Longitud de onda A
(Frec B) = 2 x (Frec A)
Al cortar otro tubo a un tercio del tamaño original se triplica la frecuencia fundamental obteniendo así la frecuencia correspondiente al tercer armónico del primer tubo.
tubo A
__ __ Longitud de onda A
| | | tud de onda C
(Frec C) = 3 x (Frec A)
* El reinado mitológico de “Huang-Ti” (El Emperador Amarillo) según la tradición oral se situaría desde el 2698 hasta el 2598 a.C. durante un periodo de 100 años. Se cree que la figura de “Huang-Ti” podría haber sido reinterpretada durante la dinastía Zhou (s.XI-11l a.C.) siendo en origen un antiguo dios de la guerra nacido de una mujer y un rayo. Se enmarcan las primeras dinastías dentro del ámbito mitológico, por lo que no queda demostrada la existencia real de estos personajes.
2 El gráfico es una simplificación del fenómeno, algo más complejo en tubos que en cuerdas. (Consultar leyes de Bernoulli). Lógicamente en la antigua China no pensarían en términos de frecuencia. Añadimos la explicación física a la leyenda ya que supone un buen ejemplo para entender cómo funciona la relación entre longitud y frecuencia en una cuerda vibrante. En cualquier caso, el fenómeno de los armónicos naturales es posible experimentarlo soplando en un tubo, no es descabellado pensar que se estableciera la consonancia de estos intervalos con conocimiento experimental de la serie armónica.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido sd 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Como ya sabemos, el tercer armónico se corresponde con el intervalo de quinta en el registro de la segunda octava. Si por ejemplo el "tubo A" estuviera afinado en la nota Do, el "tubo C” se correspondería con la nota Sol”.
Í (do) x 3 = Í (sol') Re | Mi | Fa |Sol| La | Si |Do' | Re | M' |Fa”|
Para bajar una octava la nota Sol” dividimos entre dos su frecuencia.
Í (sol) : 2 = Í (sol)
130,80 Hz ARANA 196,20 Hz IE RECTO IS OO ES E AD
Para ello es necesario multiplicar por dos la longitud del "tubo C”.
Tubo C
| Tubo D = (Tubo C) x 2
Frec D = (Frec C) : 2
Por lo tanto, para obtener un tubo que emita el intervalo de quinta con respecto al "tubo A” es necesario cortarlo a dos tercios de su tamaño. De ese modo, la frecuencia del "tubo A” se multiplica por tres medios.
Tubo A
Tubo D = (Tubo A)x <
Frec D = (Frec A) x “5
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido En 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Según la leyenda, "Ling-Lu" desarrolla la escala pentatónica a partir de los intervalos de quinta de cada nueva nota que obtiene al dividir en tercios los tubos. Al ordenar en sentido ascendente estas cinco notas tenemos la escala pentatónica mayor.
E E 5 E e Wi We" Do So Re La Mi
Do Ke Mi Sol La
Los cinco primeros sonidos de la espiral de quintas naturales corresponden a la escala pentatónica, pero en realidad al no existir coincidencia matemática entre la serie de quintas y la de octavas, con la espiral de quintas naturales se obtiene un número infinito de notas. Es un círculo que nunca llega a cerrarse.
La escala pentatónica aparece de manera independiente en la música popular de los continentes euroasiático, africano y americano. Es prácticamente imposible establecer su origen como fenómeno único en un lugar y tiempo determinado. Al ser tan escasa la documentación sobre los modelos musicales en las culturas de la antigúedad y la prehistoria es muy complejo llegar a conclusiones definitivas al respecto.
En occidente se establecen los textos de los filósofos pitagóricos como punto de partida de la teoría musical, sin embargo es fundamental tener en cuenta la fuerte influencia que Egipto y Mesopotamia ejercen en el nacimiento y la identidad de la cultura griega. Hay constancia de un notable desarrollo en los instrumentos musicales de Mesopotamia, Egipto y la India en torno al segundo y tercer milenio antes de Cristo. Laudes de tres cuerdas y arpas con más de diez demuestran que ya había conocimiento acerca de la relación entre longitud, tensión y altura de los sonidos. Flautas y chirimias dobles suponen además un indicio del uso polifónico de estos instrumentos.
El mito de los martillos de Pitágoras relatado por Nicómano en el siglo II! d.C. cuenta cómo Pitágoras (s. VI a.C.) al pasar por una herrería escucha los sonidos producidos por diferentes
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido dá 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
martillos al golpear sobre un yunque apreciando consonancias y disonancias entre las notas producidas. Según Nicómano el peso de los martillos se correspondía con las proporciones de los intervalos de octava, cuarta y quinta. Sin embargo, las proporciones son válidas en lo que respecta a la longitud de una cuerda o tubo, pero no se puede aplicar al peso de los idiófonos. Hay que tener en cuenta los ocho siglos que separan las vidas de Pitágoras y Nicómano. Y
No se conocen documentos escritos por el propio Pitágoras, todo cuanto sabemos sobre él se lo debemos a los textos de sus discípulos en torno a 150 y 200 años después de su muerte basadas en historias transmitidas oralmente. No se puede constatar con certeza dónde terminan los estudios y las aportaciones del maestro y cuáles son obras de sus seguidores. La figura de Pitágoras está impregnada de misticismo religioso, podríamos decir incluso que se trataba de una divinidad en la antigua Grecia.
Según la biografía escrita por Jámblico (s. III a. C.), la figura de Tales de Mileto habría ejercido una fuerte influencia sobre la personalidad y los conocimientos de Pitágoras. Impulsado por su maestro se desplaza a Egipto para mejorar su formación astronómica y matemática. En sus viajes podría haber alcanzado también Babilonia, la peninsula Arábiga e incluso la India.
Pitágoras se instala a su regreso en Crotona (al sur de Italia). Establece allí su propia escuela. Con el paso de los siglos se mitifica su figura y es dificil saber dónde termina la realidad y comienza la leyenda.
Los miembros de la escuela pitagórica se autodenominaban "Mathematikoe" y sostenían la idea de que la realidad es en esencia de naturaleza matemática. Sus integrantes eran matemáticos, filósofos y músicos con una concepción del universo basada en los números. Tenían la convicción de que las proporciones musicales explicaban el movimiento de los astros.
Se atribuye al propio Pitágoras el posicionamiento de los intervalos de octava, quinta y cuarta en el monocordio (instrumento musical con una sola cuerda). Las proporciones que vimos en los ejemplos anteriores practicadas en la leyenda de "Ling Lu" en diferentes tubos de bambú son también válidas para las posiciones en una cuerda. Al pulsar presionando con un dedo sobre cualquier punto cambiamos su longitud y en consecuencia la longitud de onda y la frecuencia.
Digitando en el medio de la cuerda duplicamos la frecuencia y obtenemos el intervalo de
octava. CUERDA AAA A | | ] 1/2 CUERDA | y : —_—_—_—_ _——_—_— | $MN A A A a — a | Intervalo de a octava
Frec (1/2 CUERDA) = 2 x Frec (CUERDA)
3 : : z Pp : : o :
Lo cierto es que en este tipo de sonidos metálicos (al igual que sucede con las campanas), resulta relativamente fácil apreciar auditivamente los armónicos naturales. Esto es una reflexión personal, pero.. ¿pudiera ser que Pitágoras apreciara la consonancia de los armónicos naturales al escuchar los golpes en la herrería..?
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido sd 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Digitando a dos tercios de la cuerda obtenemos el intervalo de quinta.
CUERDA
2/3 CUERDA
Intervalo de quinta
Frec (2/3 CUERDA) = Frec (CUERDA) X 3/2
Para calcular la proporción correspondiente al intervalo de cuarta tomamos como referencia el valor de la quinta, ya que existe relacción directa entre estos dos intervalos. *
En la escala diatónica desde Do hasta Fa contamos cuatro notas, por eso decimos que Fa es intervalo de cuarta con respecto a Do. Pero si contamos desde la nota Fa hasta Do” en sentido ascendente hay cinco notas, por esa razón Does intervalo de quinta con respecto a Fa.
Por lo tanto la frecuencia de Do” se corresponde con el tercer armónico de Fa. Dividiendo entre tres la frecuencia de Do” obtenemos el valor de Fa.
Í (do): 3 =Í (fa) Fa |Sol| la | Si | Doo |Re|M' Fa |Sol | La | Si”
— SO Hz Hz Hz
Si tenemos una cuerda afinada en Do digitando en la mitad de la cuerda obtenemos Do” , su intervalo de octava como ya vimos anteriormente.
CUERDA
A | | | |
1/2 CUERDA | | Do' | |
Do
Intervalo de octava
Frec (Do') = 2 x Frec (Do)
4 . . . . . r La quinta y la cuarta son intervalos complementarios. En la segunda parte de este estudio se explica con más detalle su relación.
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La mitad de 1/2 es 1/4, por eso digitando a un cuarto de la cuerda obtenemos la segunda
PI
octava, es decir Do
CUERDA Do | | | | |
|
1/4 CUERDA |
o” Intervalo de 2? octava Frec (Do”) = 4 x Frec (Do)
Para obtener la posición de Fa tenemos que dividir entre tres la frecuencia de Do” multiplicando por tres en la cuerda su longitud. La posición del intervalo de cuarta en la cuerda es en consecuencia tres cuartos.
CUERDA
Do
Intervalo de cuarta Frec (Fa) = 4/3 x Frec (Do)
Así pues, los intervalos de octava, cuarta y quinta se ubican en los siguientes puntos de la cuerda:
Cuarta Quinta Octava
3/4 2/3 1/2
A partir de estas proporciones, del mismo modo que "Ling Lu" en la leyenda china, los matemáticos pitagóricos obtienen las notas de la escala siguiendo la espiral de quintas naturales. Por lo que se denomina "afinación pitagórica" a esta manera de afinar.
Las siete primeras notas de la espiral de quintas naturales dan lugar a la escala diatónica. El al EJ =J al 5 Fa Do Sol Re La Mi Si
Var 4
Do Re Mi Fa Sol La Si
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido sd 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
La fuerte influencia que ejercen los textos griegos en la Europa cristiana durante la Edad Media afianzan la idea en occidente de que son los músicos pitagóricos los fundadores de los principios básicos de la armonía musical. Pero las escalas y modos derivados del modelo diatónico aparecen también en la música persa e hindú y en las últimas décadas se han encontrado documentos que prueban que ya se conocían con anterioridad también en Egipto y Mesopotamia.
El descubrimiento del documento UET7,74 en los años sesenta genera en su tiempo gran controversia. Sin embargo hoy en día es considerado como prueba documental del diatonismo en Mesopotamia 1500 años antes de Pitágoras.
Esta tablilla cuneiforme del segundo milenio antes de Cristo encontrada en la ciudad de Ur contiene información muy relevante para comprender el sistema tonal mesopotámico. Detalla el modo en el que un arpa de nueve cuerdas puede ser afinada en siete escalas diatónicas distintas basándose en un circulo de quintas/cuartas. La octava y novena cuerdas quedan afinadas a una octava de distancia con respecto a la primera y segunda cuerda.
La terminología empleada en esta tabla matemática aparece también en textos de Babilonia, Asiria O la ciudad de Ugarit, lo que prueba la existencia de un sistema teórico-musical consolidado en todo Oriente Medio desde principios del segundo milenio a.C.
Este mismo sistema de afinación es descrito en otra tablilla del primer milenio a.C con una estrella de siete puntas que representa el circulo de quintas /cuartas.
qudmu = 1? cuerda
shalsh[i uhri] = 7?
rebi uhri = 6? cuer Ea banú = 4? cuerda
hamshu = 5? cuerda
Entre las diferentes conclusiones extraidas en el estudio de estos y otros documentos encontrados en Oriente Medio es deducible que el uso y manejo de semitonos y de otros sistemas heptatónicos fueran también empleados en la música mesopotámica. *
” Músicas en la Antiguedad (Fundación la Caixa)
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido Sd 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
1.5 EL TEMPERAMENTO IGUAL DE DOCE SONIDOS
La afinación pitagórica supone el punto de partida desde el cual se desarrollan los múltiples sistemas de afinación propios de la música occidental. Junto con los textos pitagóricos, Aristógenes y Ptolomeo son los teóricos musicales del mundo clásico que más influencia ejercerán con posterioridad en los modelos de la Europa cristiana medieval.
La evolución que tiene lugar a partir del Renacimiento y durante el Barroco da lugar a nuevas
teorías musicales y maneras de afinar. Destacan las aportaciones de Bartolomé Ramos de Pareja, Francisco de Salinas, y Giosefto Zarlino entre otros. El uso de trastes en los instrumentos de cuerda y el teclado empleado en la construcción de órganos de iglesia y en los clavecines y clavicordios impulsan la necesidad de crear un modelo con doce sonidos valido para tocar en todas las tonalidades.
Como vimos en el capítulo anterior, al no existir coincidencia matemática entre la serie de quintas y la de octavas, la espiral de quintas naturales genera una serie infinita de notas.
Las siete primeras notas de la espiral dan lugar a la escala diatónica. Entre el duodécimo sonido y el primero de la serie se genera un intervalo de quinta desafinada conocido como "quinta del lobo" por el sonido estridente como el aullido de un lobo que provoca. Por esa razón, los primeros doce sonidos del modelo pitagórico no son validos para transportar a cualquier tonalidad sin la necesidad de realizar modificaciones en la afinación.
El temperamento igual surge con la idea de corregir este desajuste bajando ligeramente la afinación de las quintas para obtener un modelo circular. Las primeras aproximaciones se atribuyen en Europa a Ramos de Pareja a finales del s. XV o principios del XVI. También a Giacomo Gorzanis en la segunda mitad del XVI. Es común entre los laudistas del XVI la composición a partir de cada una de las doce notas de la escala cromática, aunque solía ser necesario hacer algunas modificaciones en la afinación. Esta práctica está presente en Vicenzo Galilei o en los laudistas Francesco Spinacino y John Wilson entre otros.
Sin embargo, esta preocupación no es exclusiva de la cultura occidental. Aparece también de manera paralela en China. De hecho, parece quedar demostrado que el sistema diseñado y publicado en 1584 por el músico y matemático Zhu Zaiyu es el más preciso de su tiempo anticipándose en más de un siglo al cálculo del fisico flamenco Simon Stevin.
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En la primera mitad del s. XVIII J.S.Bach compone “El clave bien temperado”. Esta obra consta de dos volúmenes, cada uno de ellos contiene 24 grupos de preludio y fuga en todas las tonalidades mayores y menores. Existe cierta polémica acerca del temperamento original utilizado por Bach, pues eran numerosos los temperamentos mesotónicos circulares empleados en la época. Bach no deja anotaciones claras acerca del temperamento empleado en esta ni en sus otras obras.
El temperamento igual se obtiene al dividir el intervalo de octava en doce semitonos proporcionalmente iguales entre sí. Este modelo permite reproducir secuencias de intervalos con idéntico resultado melódico tomando como punto de partida cualquiera de las doce notas.
A pesar de contar con numerosos detractores por las desventajas que presenta con respecto a otros sistemas de afinación, termina por imponerse en la música occidental a finales del s.XVIMI y principios del XIX. Desde entonces los pianos y muchos otros instrumentos se suelen afinar empleando el temperamento igual.
Las doce notas en el teclado se distribuyen secuencialmente en siete teclas blancas y cinco negras a lo largo de las diferentes octavas del instrumento.
Las teclas blancas generan las siete notas de la escala diatónica:
1=Do, 2=Re, 3=Mi, 4=Fa, 5=Sol, 6=La, 7=81.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido sd 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Para denominar a las teclas negras del teclado se parte de una tecla blanca colindante. Si desde la tecla blanca subimos para llegar a la tecla negra utilizamos el término sostenido (+). Si desde la tecla blanca descendemos utilizamos el término bemol (b).
Do*+ Re+t Foa*+ Sa* Lar+* Reb Mib Sob Lab sib
Do
Cuándo utilizamos sostenido o bemol para nombrar una tecla negra depende de la función interválica que desempeña la nota en un determinado contexto armónico. Se utiliza el término "SONIDOS ENARMÓNICOS" para las notas con diferente nombre que referencian a un mismo sonido. En el sistema temperado los sonidos enarmónicos coinciden en la misma frecuencia, pero en otros sistemas de afinación pueden representar frecuencias diferentes muy próximas entre si.
La nomenclatura anglosajona establece una letra del abecedario para cada nota de la escala diatónica . La letra A corresponde a la nota "La", y avanzando por orden alfabético hasta la G ascendemos por la escala hasta alcanzar la nota "Sol".
A=La B=Si C=Do D=Re E=Mi F=Fa G=Sol *?
Para referirnos a las notas con sostenidos y bemoles escribimos primero la letra correspondiente a la nota y a continuación la alteración:
Af Bb C* Db D+ Eb F+ Gb G* Ab
Las teclas negras del piano son más pequeñas que las blancas, pero esto no implica una menor importancia. Las doce notas son proporcionalmente iguales entre sí y se repiten secuencialmente a lo largo de sus diferentes octavas en un circulo donde cualquiera de las notas puede ser elegida como punto de referencia con respecto a las demás. Las notas se ordenan por su altura. A medida que ascendemos cada nota suena más aguda que la anterior porque aumenta en número de Hertzios (vibraciones por segundo).
* También conocido como cifrado inglés y americano (por ser el empleado en Estados Unidos como consecuencia de su raíz anglosajona.) En la Grecia alejandrina ya se cifraban las notas musicales con las letras del alfabeto. El monje benedictino Pablo el Diácono compone en el s. VIII el Himno a San Juan Bautista (popularizado posteriormente por Guido d'Arezzo) donde utiliza el nombre latino de las notas musicales en la sílaba inicial de cada verso a excepción de la primera ("Ut, re, mi, fa, sol, la, si"). Meninski en el s. XVI! y Alexandre de Laborde en el XVIII sugieren en sus escritos el posible origen árabe de la nomenclatura musical en el solfeo europeo. Los escritos de Al-mamún y Al-mausili en el siglo IX utilizan un sistema de notación musical basado en las letras del alfabeto árabe denominado Durr-i-Mufassal (Perlas separadas). Las notas en este sistema son nombradas de la siguiente manera: "min, fa, sad, lam, sin, dal, ra”.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido a 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
¿A AE o O > 2093,00 —_ 2 1046,50 — ”
| j / | p | pop] E O O | | | | | | | | o So RNA = 505 HDD 22065 SH 00 Y Ql 0 H E N ADOOD FR NuDbo> ES 20 OHWNnOa | y E E] RIGEN Lo Lol SS / ) |] / | | e 'IGOTON | a 0% va 0 |
s 09 s 02 % Z
A E. e a IA AR 6667 7 A GI A — 08'6£81T
El gráfico representa las frecuencias en Hertzios de las doce notas a lo largo de sus sucesivas octavas. Se aprecia que en realidad nuestro modelo circular es más bien una espiral. Desde cualquier nota, girando en el sentido de las agujas del reloj, la frecuencia va aumentando progresivamente. Al cerrar el circulo completo, llegamos a la nota de origen y la frecuencia es justo el doble que cuando empezamos.
La relación matemática entre los Hertzios de una nota y los de la siguiente es siempre la misma. Surge al dividir el intervalo de octava en doce semitonos proporcionalmente iguales entre sí.
Multiplicando una frecuencia por la raíz duodécima de dos obtenemos el valor de un semitono temperado. Por ejemplo, al multiplicar los 16,35 Hz de C por la raíz duodécima de dos obtenemos el valor de C+f, es decir 17,32 Hz.
Cx 'V2=CH
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido da 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Si repetimos la operación doce veces seguidas con cada resultado obtenido la última frecuencia será justo el doble con respecto a la frecuencia de la que partimos. La última frecuencia se corresponde con el intervalo de octava de la primera.
Cx 'V2=CH C4x 'V2=D Dx'V2=D+ Dix 'V2=E Ex'V2=F Fx V2= FA Fix V2=G Gx 'V2= GH Gx V2=A Ax V2Z= AH Aé x V2=B Bx'V2=C"
Ne de divisiones 2Í, En la ecuación, el radicando dos representa la
proporción del intervalo de octava (ya que este se obtiene al multiplicar por dos la frecuencia original). El indice de la raiz (12) representa el número de notas en los que se desea dividir el
Intervalo de octava Intervalo de octava.
El oido humano es capaz de percibir sonidos comprendidos aproximadamente entre los 20 Hz y los 20.000 Hz. Para numerar las diferentes octavas existen fundamentalmente dos modelos en la actualidad. Nosotros utilizaremos el índice acústico cientifico (o internacional que establece la nota "La4" en 440 Hz como frecuencia de referencia ?.
Las frecuencias correspondientes al modelo temperado se ordenan como indicamos en el cuadro que adjuntamos en la página siguiente. Incluimos también dos cuadros más con la tesitura de los diferentes instrumentos musicales y los cantantes.
” En el índice de notación franco-belga, La3=440Hz. En los últimos siglos se han utilizado diferentes estándares de afinación, pero hasta el XVIII se utilizaban criterios con hasta tres tonos de diferencia. En el XIX y XX se tiende a subir la afinación para conseguir un sonido con más brillo ya que la tecnología permite a los cordófonos aguantar más tensión sin que revienten las cuerdas. Actualmente algunas orquestas afinan a 444 Hz. En conjuntos de música antigua afinar a 415 Hz es también frecuente.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 26 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
TABLA DE FRECUENCIAS DEL TEMPERAMENTO IGUAL +
ES
e ls 39|32,/9| 65,40 | 130,80 261,62 | 523,25 | 1046,50 | 2093,00 |4186,00 | 8372,00
EA 17 re 34,64 | 69,29 | 138,59 |277,18|554,36 |11083,73|2217,46 | 4434,92 | 83309,84 DD l1s 118,35. 36,/0| 713,41 |146,83 | 293,66 |587,32 1174,65 | 2349,31 | 4698,63 | 9397,27
LB [20,60 41,20] 8240 104,81 929,62 059,25 1318,51 2637.02 5274,04| 10548,08 AA DO e a LB 130,86161,73 123,47 246,94 | 493,88 |987,76 | 1975,53 |3951,06 7902,12 | 15804,25
Aa= 440 Hz
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
TESITURA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES
15804,25 Hz 5372,01 Hz
O
O =
4,1186,00 Hz
S| a 209
Cs.
3,00 Hz
HS de eee
046,50 Hz 523,25 Hz 440,00 Hz
UE OUOFEIQTA
y»
261,62 Hz Do central piano 130,80 Hz 65,40 Hz 32,70 Hz
mi
U0IPIOI)Y
16,35 Hz
O0UB SO
1. Fundamentos físicos de la armonía musical
44
r
ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
15804,25 Hz
O =
N N N N Ñ N nz NN N N — o O O Y O SN Ss S O O v al S 2 a a E 339.3 Z 2 E = N o 9) o s o A a] a . - e o = QS «+ rl S o N o 0 ms S S S + SA a ó o 2 OMHTpAPQUIOg OOOO EE FE E E Me eJ9duro. y
cl J1AO0U9YUOQUIOL Y a dos eqnL 9040 == EE us
J03t H
30.3 eJe1 poo)
out1dos|oxes
1 OJ[? OXEeS
A
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9IJULIBIO
e
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OUOJILIEQIOXES
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t19SIALIYLIME A
00 Ia S Ó S
y»
1. Fundamentos físicos de la armonía musical
45
r
ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
1.6- AFINACIÓN PITAGÓRICA, AFINACIÓN TEMPERADA Y SERIE ARMÓNICA.
Aunque ya hemos explicado en qué consiste la serie armónica, la afinación pitagórica y la afinación temperada, en este capitulo se pretende establecer una comparativa entre los tres con la finalidad de aclarar conceptos sobre sus similitudes y diferencias que ayuden a comprender mejor en qué consiste cada uno de ellos y cómo se relacionan entre sí. Existen múltiples sistemas de afinación a lo largo de la geografía y la historia, pero en este estudio nos vamos a centrar en estas tres series.
AFINACIÓN PITAGÓRICA
La afinación pitagórica se construye a partir de las consonancias básicas de la serie armónica. El segundo armónico se corresponde con el intervalo de octava y el tercer armónico con el de quinta.
longitud de onda (Arm 1)
FUNDAMENTAL Do
2 x longitud de onda (Arm 2) |
fíarm2)=2 xfíarmt) Do” Octava
fíarm3)= 3 xf(armt) Sol Quinta
Como vimos en capitulos anteriores, partiendo desde una nota se obtienen las demás con la proporción del tercer armónico de cada nueva nota. Con la espiral de quintas naturales obtenemos una sucesión infinita de notas al no existir coincidencia matemática entre la serie de quintas y la de octavas. Las siete primeras dan lugar a la escala diatónica.
DASS EA LÓÁN |
- : -—» .” e
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido de 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
AFINACIÓN TEMPERADA
La afinación temperada está formada por doce sonidos obtenidos al dividir el intervalo de octava en doce partes proporcionalmente iguales entre sí. Multiplicando una frecuencia por la raíz duodécima de dos obtenemos el valor de un semitono temperado. Ascendiendo tres tonos y medio desde una nota por la escala cromática obtenemos un valor en Hertzios muy aproximado al de la quinta pitagórica.
Y
311,12 Hz
329,62 Hz
Tonos
3 + 1/25 12 + DS Tonos. 3 y Fonos ?
Quinta temperada / Tonos q = 391,99 Hz
Quinta pitagórica G=Cx 3/2
Quinta temperado= 391,99 Hz = 261,62 x 3/2
(= 392,43 Hz
Quinta pitagórica= 392,43 Hz
El valor de la quinta temperada es ligeramente más bajo que el de la quinta pitagórica, pero se aproxima mucho y para nuestro oido es dificil apreciar la diferencia.
Lo cierto es que la afinación temperada implica sacrificio con respecto a la consonancia de las quintas. Se producen batimientos entre la fundamental y la quinta temperada como consecuencia del desacompasamiento que tiene lugar entre las ondas. Esta es una de las principales razones por la cual el temperamento igual ha contado con numerosos detractores a lo largo de la historia. En conjuntos de música antigua es muy frecuente buscar la consonancia de las quintas naturales por el efecto acústico que producen.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido dl 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
La gran ventaja de la afinación temperada con respecto a otros sistemas de afinación es que permite unir sus doce sonidos en un circulo cerrado de quintas. Esto hace posible construir la escala diatónica a partir de cualquiera de las doce notas y transportar a todas las tonalidades con una afinación estable.
La leve diferencia entre la quinta temperada y la pitagórica provoca como consecuencia que las frecuencias de las notas no coincidan en estos dos sistemas de afinación. La diferencia es acumulativa. Va creciendo con cada nueva nota del circulo de quintas.
AFINACIÓN TEMPERADA ! AFINACIÓN PITAGÓRICA 130,80 Hz C=Fx3/4 130,95 Hz ¿Ga 195,99 Hz Go G=Cx3/2 196,43 Hz | Da 146,83 Hz _D o D=GxXx3/4 147,32 Hz Az 220,00 Hz IAN A=DxX3/2 220,99 Hz Es 164,81 Hz EA E=Ax3/4 165,74 Hz | Ba 246,94 Hz > B B=Ex3/2 248,61 Hz
Fs 184,99 Hz FR FH=BXx3/4 186,46 Hz 138,59 Hz CH=FHx3/4 | 139,84 Hz Ga 207,65 Hz GH GH=CHx3/2 | 209,76 Hz Dia 155,56 Hz DH DÉ =GH4+x3/4 | 157,32 Hz As 233,08 Hz CAR AHt=D$4+Xx3/2 | 235,98 Hz Es 174,61 Hz EH EH=A$4x3/4 | 176,99 Hz
o Fs=Efs F < Ef
1 . . yA . y . Las frecuencias del temperamento igual están reflejadas en la tabla del capítulo anterior.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido e 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Tras una serie de doce quintas consecutivas, en la afinación temperada volvemos al valor relativo de la frecuencia original. Sin embargo en la afinación pitagórica obtenemos un valor notablemente superior con respecto a la frecuencia original.
Por esa razón la afinación pitagórica no supone un modelo válido para transportar a cualquier tonalidad con una afinación estable. La quinta del lobo se produce en el cuadro entre las frecuencias de AH (enarmónico de Bb) y F' 2.
SERIE ARMÓNICA
En la serie armónica derivada de los armónicos naturales que se producen en las ondas estacionarias, además de las consonancias naturales del segundo y tercer armónico se genera una sucesión de intervalos proporcionales a la nota fundamental. Utilizaremos el término "intervalo natural" o "intervalo perfecto" para referirnos a ellos.
Por cada armónico impar obtenemos una nueva nota, ya que los armónicos pares implican la repetición de algún sonido anterior de la serie.
longitud de onda (Arm 1)
¡AA + FUNDAMENTAL Es
3 x longitud de onda (Arm 3) | |
ÍA | | | fíarmo)=3 xf ó | y (arm3) Xx I(arm1) G
| | | | | | | | | ¿5 x longitud de onda (Arm 5) | | | | |
| | | | |
f(arm5) = 5 x f(arm1) E | | | | | | ' | | | |
7 x longitud de onda (Arm 7) | y | |
| | : | ¡ ,/ AN flarm7) = 7 x f(arm1) Bl
9 X longitud de onda (Arm 9) | : | | | : | | | |
fíarmo) = 9 x fíarm1) D"
Estos intervalos tienen en muchos casos valores muy próximos con respecto a los que se generan en la afinación pitagórica y en la afinación temperada.
AFINACIÓN TEMPERADA INTERVALOS PERFECTOS
2 : si . ] ./ Pl A si Entre estas dos frecuencias se genera una quinta muy baja de afinación. Este intervalo es conocido como la quinta del lobo por el sonido estridente como el aullido de un lobo que provoca.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 6d 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Por ejemplo; el valor del quinto armónico de una nota se aproxima mucho al de su intervalo »)
de tercera mayor. En la escala diatónica de "Do" a "Mi" contamos tres notas, por eso decimos
que "Mi" es la tercera de "Do".
El quinto armónico de C tiene una frecuencia cinco veces más alta con respecto a la fundamental. Para saber su valor multiplicamos por cinco los hertzios de C.
longitud de onda (Arm 1)
C
| FUNDAMENTAL 130.80 Hz
fíarm5) = 5 x farm) f(arm5) = 5 x 130,80
f(arm5) = 654,00 Hz
El valor del quinto armónico se corresponde con el intervalo de tercera de la nota fundamental dos octavas por arriba.
Para bajar dos octavas su frecuencia la dividimos entre cuatro (dos veces dos).
fi) =fíE"): 4
654,00 / 4 = 163,50 Hz
El valor de la tercera temperada es notablemente más alto en comparación con el valor relativo del armónico 5.
> Tercera temperada (Es) 164,81 Hz 3
A 5) /4 130,80 Hz (Arm 5)/4 163,50 Hz E= Cx5/4
Esta diferencia si es fácilmente apreciable por el oido humano. Ni en la afinación temperada ni en la pitagórica se cumplen las consonancias perfectas de la tercera. A pesar de ello el intervalo de tercera mayor es considerado como intervalo consonante por su proximidad con la proporción del quinto armónico.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido de 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
En las músicas orientales y en la música antigua existen múltiples modelos de afinación. Cabe destacar el sistema mesotónico de Aristógenes y el modelo de Ptolomeo en el mundo clásico, así como las aportaciones de los renacentistas Bartolomé Ramos de Pareja, Francisco de Salinas y Giosefto Zarlino entre otros. En algunos casos se contempla la consonancia de las terceras perfectas.
En este estudio nos centramos principalmente en los intervalos propios de la serie armónica, en la afinación pitagórica y en el temperamento igual de doce sonidos. A modo de resumen en el siguiente cuadro exponemos las principales características y la relación existente entre las tres.
CONSONANCIAS AFINACIÓN AFINACIÓN PERFECTAS PITAGORICA TEMPERADA Resultado de las notas Resultado de dividir en Intervalos propios de la que aparecen en la doce semitonos serie armónica espiral de quintas proporcionalmente
naturales. iguales entre si el intervalo de octava.
Solamente se respeta la consonancia natural de las octavas.
Proporciones perfectas Se cumple la Las quintas temperadas
con respecto a la consonancia natural de se aproximan a las frecuencia fundamental. las octavas, quintas y naturales y permiten cuartas, pero no de las relacionar las doce Octava=2 terceras y otros notas en un círculo Quinta=3 /2 intervalos. cerrado de quintas. Tercera=5/4
El valor de un semitono temperado se obtiene al multiplicar la frecuencia fundamental por la raíz duodécima de dos.
2
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido de 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
1.7 GEOMETRIA DEL TEMPERAMENTO IGUAL.
La consolidación del temperamento igual a lo largo del siglo XIX en la música occidental configura también nuevas posibilidades y maneras de entender la armonía. El periodo romántico se caracteriza por un uso cada vez mayor de los cromatismos y por la búsqueda de la libre expresividad. Esta evolución conduce a la exploración de nuevos recursos estilísticos en la armonía musical.
Los músicos impresionistas y nacionalistas indagan las posibilidades geométricas del sistema temperado haciendo uso de acordes aumentados y escalas simétricas. En el siglo XX, la música dodecafónica y la música serial suponen la ruptura total con respecto a los modelos tonales y una mayor indagación en las posibilidades geométricas del sistema temperado.
La proporcionalidad igual de los doce semitonos configura un poligono regular de doce vértices. Situamos cada uno de los doce sonidos en un vértice del dodecágono:
E E
A+ D i pr | q+ E das
El número doce se descompone en números enteros dando lugar a diferentes combinaciones. De este modo podemos obtener:
*% tres grupos de cuatro unidades.
SEDES
*% Cuatro grupos de tres unidades.
CPIDTIDID
* Dos grupos de seis unidades.
*« Seis grupos de dos unidades.
EXNMEISCIONOS
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ne 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
De la misma manera, los doce vértices de un dodecágono pueden dar lugar a la formación de :
4
* Tres cuadrados.
*«% Cuatro triangulos equiláteros.
4
«% Dos hexágonos.
«% Seis diagonales principales.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido di 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Como hemos visto en capitulos anteriores, el valor de un semitono temperado se obtiene al multiplicar una frecuencia por la raiz duodécima de dos.
Ne de divisiones En la ecuación, el radicando dos representa la
Y proporción del intervalo de octava (ya que este se obtiene al multiplicar por dos la frecuencia original).
) El índice de la raiz (12) representa el número de notas en los que se desea dividir el intervalo de
octava. Intervalo de octava
Haciendo uso de esta proporción obtenemos los doce vértices en nuestro dodecágono hasta cerrar el poligono completo en la nota de origen una octava por encima.
Cx'V2=CH C4x 'V2=D Dx V2=D+ Dix 'V2=E Ex 'V2=F Fx V2= FA Fix V2=G Gx V2= GH Gi x V2=A Ax V2Z= AH Aé xx V2=B Bx'V2=C"
Al sustituir el indice doce de la raíz por los submúltiplos que lo componen podemos descomponer el dodecaedro obteniendo los cuadrados, triangulos equiláteros, hexágonos o diagonales principales que contiene.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido ds 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Un cuadrado se forma por cuatro vértices equidistantes entre sí. Al aplicar en nuestra ecuación el número cuatro para el indice de la raiz obtenemos las cuatro frecuencias que definen los vértices de nuestro cuadrado musical. Estas cuatro frecuencias dividen el intervalo de octava en cuatro sonidos proporcionalmente iguales entre sí.
Cx V2= DA Dé x V2= FA Fé x V2= A Ax V2=C'
Un dodecáagono contiene tres cuadrados entre sus vértices. Estos tres cuadrados agrupan los doce sonidos del temperamento igual de la siguiente manera:
Como veremos en próximos capítulos, las frecuencias de estos tres cuadriláteros dan lugar a la formación de todas las tetradas disminuidas y sirven también para la construcción de las escalas simétricas de ocho sonidos.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido na 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Un triángulo equilátero se forma por tres vértices equidistantes entre sí. Al aplicar en nuestra ecuación el número tres para el indice de la raíz obtenemos las tres frecuencias que definen los vértices de nuestro triángulo musical. Estas tres frecuencias dividen el intervalo de octava en tres sonidos proporcionalmente iguales entre si.
CxV2= E Ex V2= GH GH x V2Z=C'
3 x V2
Un dodecágono contiene cuatro triángulos equiláteros. Estos cuatro triangulos agrupan los doce sonidos del temperamento igual de la siguiente manera:
Como veremos más adelante, estos cuatro triángulos definen todas las combinaciones posibles para la formación de triadas aumentadas.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido pS 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
Un hexágono regular se forma por seis vértices equidistantes entre sí. Al aplicar en nuestra ecuación el número seis para el indice de la raíz obtenemos las seis frecuencias que definen los vértices de nuestro hexágono musical. Estas seis frecuencias dividen el intervalo de octava en seis sonidos proporcionalmente iguales entre sí.
CxvV2=D Dx V2=E Ex V2= FA Fx V2= GH GH x V2=A+
Aé x V2=C'
Un dodecágono contiene dos hexágonos entre sus vértices. Estos dos hexágonos agrupan los doce sonidos del temperamento igual de la siguiente manera:
CDE FRY GF AF C* DF? F G A B
Estos dos hexágonos definen las dos combinaciones posibles para formar la escala hexatónica de tonos enteros.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido dd 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
En un poligono regular la diagonal principal une dos vértices opuestos dividiendo el poligono en dos mitades iguales. Al aplicar el nuestra ecuación el número dos para el índice de la raíz dividimos el intervalo de octava en dos frecuencias proporcionalmente iguales entre sí.
E
CxV2=F+
FHxV2=C'
Ei
En un dodecágono es posible trazar seis diagonales principales. Estas seis diagonales principales agrupan los doce sonidos en seis parejas de la siguiente manera:
Estas seis parejas de sonidos definen todas las combinaciones posibles para la formación del intervalo de tritono, como veremos próximamente. 1
“Enel capítulo 2.7
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido de 1. Fundamentos físicos de la armonía musical
2. INTERVALOS
2.1 Cifrado interválico.
Igual.
2.11 Septima mayor y segunda menor.
z 59 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
2.1- CIFRADO INTERVÁLICO
El término "intervalo" se define como la distancia existente entre dos notas. El manejo de los intervalos es básico para comprender la construcción de las escalas y los acordes. En el sistema temperado, tomando un sonido como referencia es necesario saber ubicar los otros once y conocer cuál es la función armónica que ejercen con respecto a la raíz.
El cifrado estándar de los intervalos está diseñado en origen para construir escalas de siete notas. A partir de una nota se seleccionan otros seis sonidos más para la construcción de la escala.
La numeración básica se realiza a partir de la escala diatónica. Tomando la nota "Do" como raiz numeramos en sentido ascendente las otras seis notas correspondientes a las teclas blancas del teclado.
CDEFQGAAÁA BB 1.2.3. 4 5 6 7
En un rango de dos octavas la numeración continua del siguiente modo:
CDE FGABCOEDEPFO A B 123.4 56 7 8 9 10 11 12 13 14
Las notas en las escalas habitualmente se numeran por orden ascendente en el rango de una octava. Sin embargo es frecuente construir los acordes por terceras en un rango de dos octavas omitiendo los intervalos pares. Al ordenar las notas de esta manera los siete sonidos quedan numerados de esta forma:
CDEFGABCODEFO A BP 1 3 b 7 9 11 13
Los intervalos de tercera, quinta y séptima definen la tetrada básica de un acorde. Aunque también podemos utilizar la numeración 10, 12 o 14 para su posicionamiento en el rango de la segunda octava, es común referirse a ellos con su numeración simple independientemente del rango en el que nos encontremos.
Corresponden a una misma nota en diferente octava los intervalos de segunda-novena (2-9), cuarta-undécima (4-11) y sexta-decimotercera (6-13). Añadiendo estos sonidos, la numeración de la escala diatónica es la siguiente:
CDEPFGA B 1.29 3 411 5 6-13 7
—_—_ _ __ _-_-_>—-_____-—_ 60 €ÓóA> A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
A partir de estos siete sonidos básicos podemos obtener diferentes escalas alterando alguna nota (Por ejemplo, en el caso de la escala diatónica de Do sustituyendo alguna de las teclas blancas del teclado por una tecla negra).
HO
Al alterar un intervalo utilizamos un sostenido (+) pd para subirlo medio tono o un bemol (b) para a” 5 bajarlo medio tono. b5
Los intervalos se clasifican en dos categorías diferentes a la hora de interpretar las alteraciones. Dependiendo de si son del tipo "justo" o del tipo "modal" se nombran de la siguiente manera:
AUMENTADO! JUSTO| ll
DISMINUIDO! b AUMENTADO +
MAYOR | MENOR | DISMINUIDO | b bb
En los intervalos modales (mayor-menor) se utiliza una doble alteración para el cifrado del intervalo disminuido. Si un bemol indica descender un semitono, dos bemoles indican la necesidad de bajar un tono entero. Por ejemplo, el intervalo de tercera pertenece a esta categoría de intervalos. Las cuatro posibilidades de tercera disponibles se nombran de la siguiente manera:
H3 e o
3 aumentada 63 ME ercera mayor MÉ Tercera Y
AY cier a disminuida
Son intervalos justos la cuarta-undécima (4-11), quinta (5) y octava (8). 1
Los intervalos modales son segunda-novena (2-9), tercera (3), sexta-decimotercera (6-13) y séptima (7).
AUMENTADO!
JUSTO $4 45 48 411 DISMINUIDO 45811 b4 b5 b8 b11
AUMENTADO
MAYOR $2 $3 $6 $7 MENOR 2367 pea! a200)
DISMINUIDO | b2 b3 b6 b7 9 13
bb2 bb3 bb6 bb7 1! ELLA bb9 bb13
* Los intervalos del tipo "JUSTO" son aquellos que en la afinación pitagórica se corresponden con las proporciones perfectas. Octava=2; Quinta=3/2; Cuarta=4/3.
— _—_ _ __ _________—_ 61 E ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Partiendo de los siete intervalos básicos de la escala diatónica, al desplegar las alteraciones posibles de cada intervalo obtenemos este esquema: ?
INTERVALOS ENARMÓNICOS son aquellos que coinciden en la misma columna en nuestro esquema. En el sistema temperado hacen referencia a una misma frecuencia, pero según el contexto armónico se utiliza uno u otro nombre. Estas son las parejas de intervalos enarmónicos resultantes:
2=bb3 +H2=b3 3=b4 +H3=4 $4=b5 5=bb6 H5=b6 6=bb7 H6=b7
La distancia que existe entre la nota fundamental y sus intervalos se puede medir en tonos y semitonos. (Dos medios tonos equivalen a un tono entero.)
Tono y 1/2
2 Tonos
4 tonos
4 tonos y 1/2 5 tonos
5 tonos y 1/2
6 tonos
Entre la nota fundamental y la segunda mayor hay un tono. Entre la fundamental y la segunda menor medio tono. La tercera mayor dista dos tonos de la fundamental y la tercera menor un tono y medio. La quinta se encuentra a tres tonos y medio y la quinta disminuida a tres tonos. Los intervalos que se encuentran por encima de la octava se miden en el cuadro con respecto a la octava. La novena se encuentra a un tono de la octava, pero si le añadimos los seis tonos que hay en el intervalo de una octava en realidad la novena se encuentra a siete tonos de la nota fundamental.
2 Ei % , e ñ . A PE a Omitimos las alteraciones de octava así como los intervalos de segunda disminuida y séptima aumentada por cuestiones prácticas.
—_—_—— _ _ _z»--- - _ a -—_—_——— 62 . — -- -_— QA A ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Al aplicar el esquema de los intervalos sobre los doce sonidos del temperamento igual asignamos una nota musical a cada uno de los siete números básicos empezando a contar a partir de la nota seleccionada como primera. En el caso de "Do" ya conocemos el orden.
CDEFQGAaAA SB 1.2.3 4 5 6 7
A partir de aquí cada letra es sinónimo del número al que representa. Al aplicar las alteraciones de los intervalos las notas son arrastradas utilizando las alteraciones que sean necesarias para subir o bajar. Los intervalos de "Do" son los siguientes:
Al emplear notas con doble alteración cada sonido del temperamento igual puede utilizar hasta tres enarmónicos diferentes para ser nombrado dependiendo de la función interválica que desempeñe :
Entre las notas E-F y B-C hay solamente medio tono de distancia, por lo tanto:
1 EX > B+ E+=F ) / Fb=E E ¡E B,C B+=C Fb Co
Cb=B
—_—_ _ __ __-_---____. 63 q És ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Hemos desarrollado la nomenclatura para el cifrado de los intervalos tomando como referencia la nota C.
EA (24)
Pero la distribución equidistante entre semitonos del temperamento igual hace posible tomar como raíz cualquiera de los doce sonidos para desplegar el cifrado interválico.
El (24)
A partir de la distribución interválica de la escala diatónica obtenemos cuales son los enarmónicos que debemos de utilizar para nombrar a cada nota, teniendo en cuenta que deben
de aparecer las siete letras y que cada letra será sinónimo del intervalo al que representa en cada caso.
_-. — € »-_-_______________ 2___ ___—= -____—____ 64 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Tomando como raíz dos enarmónicos (como por ejemplo C+t-Db) el cifrado interválico se desarrolla por separado a partir de las dos notas. Al realizar la numeración obtenemos dos resultados distintos. Pero comparativamente todos los intervalos resultantes son enarmónicos. Aunque empleamos diferentes nombres para cada uno a efectos prácticos en el sistema temperado hacen referencia a los mismos sonidos.
Cada letra es sinónimo del número al que representa y pierde o añade alteraciones para subir o bajar según lo exija el cifrado de los intervalos:
Por ejemplo: El intervalo de segunda mayor (2) de E es F*F.
e Añadiendo otro sostenido más (F++) obtenemos el intervalo de segunda aumentada (+2).
e Cuando la nota pierde su alteración (F) cumple la función de segunda menor (b2)
A continuación desarrollamos los resultados al aplicar el esquema del cifrado interválico a partir de todas las notas con máximo una alteración. Los cuadros solapados corresponden a tonos enarmónicos:
— —_ É— __—_—_—Í—__—_———_——_____ —_——_—__—_——_— < _—_— O ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2. Intervalos
66
- ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
2. Intervalos
67
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
2. Intervalos
68
- ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
2. Intervalos
69
- ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
2.2- INTERVALOS INVERTIDOS Y COMPLEMENTARIOS INTERVALOS ASCENDENTES Y DESCENDENTES
En el capítulo anterior hemos estudiado los intervalos en sentido ascendente. Es decir, desplegando desde la raíz las demás notas por encima siendo la fundamental la nota más grave. Sin embargo es muy frecuente que aparezcan notas por debajo de la fundamental.
Ad sg O E' En el siguiente ejemplo situamos en
primer lugar la nota E” por encima a de A. A continuación, A mantiene su € DA
posición, pero E baja una octava y aparece por debajo.
Desde A hasta E” contamos cinco notas en sentido ascendente, por eso decimos que E” es intervalo de quinta ascendente con respecto a A.
Pero cuando E aparece por debajo de A contamos cuatro notas en sentido descendente. E actúa como intervalo de cuarta descendente de A.
—_—_ _ _ _-_ _—_—________—_— 70 qÁKÁAAA A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Lógicamente, la distancia que hay entre dos notas es la misma en sentido ascendente y descendente.
Por ejemplo: desde A hasta E” existe una distancia de quinta ascendente, mientras que desde E” hasta A existe una distancia de quinta descendente.
De la misma manera, desde E hasta A existe una distancia de cuarta ascendente, mientras que desde A hasta E existe una cuarta descendente.
_—_——_—__— _ __ _ ____ ___—__—_______— 71 (€éáóá<4]á A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
INTERVALOS INVERTIDOS
El concepto de intervalos ascendentes y descendentes se utiliza mucho en análisis melódico para matizar los movimientos que realizamos en una melodía. Pero en la formación de acordes y en el estudio de las escalas manejamos habitualmente el concepto de intervalo invertido para referirnos a los intervalos descendentes. La distancia entre dos notas se mide así siempre en sentido ascendente y si el intervalo aparece por debajo se entiende como una inversión.
El intervalo de cuarta descendente podemos entenderlo como un intervalo de quinta invertida.
El intervalo de quinta descendente podemos entenderlo como un intervalo de cuarta invertida.
INTERVALOS COMPLEMENTARIOS
Cada intervalo ascendente está asociado a un determinado intervalo descendente. Se denominan intervalos complementarios a las parejas de intervalos que se relacionan entre sí de este modo.
En el siguiente gráfico situamos los intervalos en sentido ascendente en el circulo exterior y los intervalos en sentido descendente en el círculo interior.
— _—_ _ _ __ ___ _____— 72 E ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
IN de í <| Y > KO 1 003 DD a De S IPN A DN Y
54 DA Xx > Ta pH
Existe una clara simetría entre las dos mitades del circulo. Si trazamos una línea desde la raíz hasta la posición en la que coinciden los intervalos +4/b5 observamos una distribución en espejo. Cada intervalo ascendente está asociado a un determinado intervalo descendente
siendo esta relación exactamente idéntica en sentido inverso.
Las parejas de intervalos complementarios son las siguientes:
H4 —————— b5 A 4 ———— 5 b4 H5 5 b6 B b3 6 $2 ———————— bb7 C 2 b7 bB2 —— /
Existen tres grupos claramente diferenciados:
A. Cuartas y quintas. B. Terceras y sextas. C. Segundas y séptimas.
z 73 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
2. Intervalos
Los intervalos mayores quedan asociados a un intervalo menor y viceversa, los justos a otro justo y los disminuidos a un aumentado. La suma de dos intervalos complementarios da como resultado un intervalo de octava:
Los intervalos de cuarta aumentada (+4) y quinta disminuida (b5) Se encuentran a tres tonos de distancia de la fundamental dividiendo por la mitad los seis tonos que existen de distancia en un intervalo de octava. Los demás intervalos se reparten simétricamente a partir de esta división configurando un modelo piramidal.
—_ _ _ _ _ _ Q»>-_ - _ _———m...._______— 74. (AAA ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
En la geometría del temperamento de doce sonidos los intervalos complementarios dan lugar a la aparición de diagonales simétricas con respecto al eje del dodecaedro:
Los próximos capitulos están dedicados a la proporcionalidad de los intervalos temperados y de la serie armónica. Estudiaremos también cómo afectan las inversiones en ambos modelos. Después profundizaremos en las relaciones existentes entre los diferentes complementarios atendiendo a los aspectos que definen la identidad de cada intervalo.
2.7- Intervalo de tritono 2.6- Quintas y cuartas 2.8- Tercera mayor, Sexta menor [y enarmónicos (b4-$ 5)]
1 / | b6-*5 44-3 b5-44 3 4 2,9- Tercera menor, Sexta 2,10- Séptima menor y 2,11- Séptima mayor y mayor (y enarmónicos [tt 2-bb7)] Segunda mayor Segunda menor des SS 1 Epa ZN b7 Z
¿q _ _->-- A _—__ A AAA A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.3- COMPLEMENTARIOS EN LA GEOMETRÍA DEL TEMPERAMENTO IGUAL
En el capitulo "1.7- Geometria del temperamento igual” estudiamos cómo este modelo de afinación configura un poligono regular de doce vértices al dividir el intervalo de octava en doce intervalos proporcionalmente iguales entre sí. El dodecágono resultante puede además ser descompuesto en dos hexágonos, tres cuadrados, cuatro triangulos equiláteros o seis diagonales principales.
e
nd e D
Al p*
SN 3 E > se
Las proporciones entre dos vértices se obtiene al multiplicar la frecuencia de uno de ellos por
V2
No de divisiones En la ecuación el radicando dos E representa la proporción del intervalo de octava (ya que este se obtiene al
multiplicar por dos la frecuencia
fundamental) y el indice de la raíz
representa el número de notas en los que se desea dividir el intervalo de
Intervalo de octava octava.
6
par <= ce > Xx Yi 5) —T NN 6— ls é: 2 a x Va 2
pa
Ph E 2... pen A
A
0
a 0, ¡dl Qe
po | Y 2
—_—_ _ __ _ __—____ Q_____— 76 ¿A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Multiplicando obtenemos las notas en sentido ascendente:
Ca X 2 = E, E. x 2 = Ga Ga X 2 — Cs O C5= 523,25 Hz A Gita= 415,30 Hz Ao Es = 329,62 Hz
C4 = 261,62 Hz
Al dividir invertimos el proceso y obtenemos los intervalos descendentes:
Cs: VZ = GHa GH: V2Z = Es
3 E, : y2 — Ca Cs= 523,25 Hz 3 Vo Git4= 415,30 Hz 3 Vo Es = 329,62 Hz 3 Vo C4= 261,62 Hz
—_—_— _ __ ______—.___——— 77 A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Comparando la ubicación de las parejas de intervalos complementarios con la geometría del temperamento igual podemos calcular la proporcionalidad de cada intervalo para este modelo
de afinación.
bÓ-*5 p4-3
5-44
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
Eee An. Np 12 | A Ñ ) D+ E FE E At | E, GR e E e
78
2. Intervalos
TA Sa 2
Por ejemplo, al multiplicar una frecuencia por la raíz sexta de dos obtenemos su intervalo de segunda mayor.
Da = Ca x V2
Para calcular la proporcionalidad de su intervalo complementario (séptima menor- b7) dividimos entre la raíz sexta de dos y después multiplicamos por dos (ya que la frecuencia obtenida es necesario subirla una octava).
Ca: V2 = Bbs Bbxx 2 = Bb.
Bb4 = 466,16 Hz
Us AP y 6
Vo Bb3 = 233,08 Hz
La proporcionalidad del intervalo de séptima menor en el sistema temperado es por lo tanto
— _—_— _ _ _ __ _________—___— 79 Ééó—— A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Aplicando este procedimiento a las otras parejas de intervalos complementarios calculamos cual es la proporcionalidad de cada intervalo en el sistema temperado:
7 [ba
2
5-44
— _—_— _ _ __ _ ___ ______— 80 ¿És ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
La consecuencia geométrica de los intervalos de cuarta y quinta es la unión entre los doce vértices del dodecaedro formando una estrella de doce puntas. Esta figura representa el circulo de cuartas y quintas temperadas característica del temperamento igual.
El cálculo de la proporcionalidad de estos intervalos en el sistema temperado podemos realizarlo sabiendo cuántas octavas tiene de recorrido el circulo completo para después dividir este rango en doce partes proporcionalmente iguales.
Para calcular la proporción del intervalo de cuarta realizamos en primer lugar el círculo completo de cuartas a partir de la nota Co.
Co - Fo - Bbo - Eb1 - Ab1 - Db2 - Gb2/F+t2 - B2 - Ez - Ax - D4 - G4 - C5
Desde Co hasta C5 se cumplen cinco octavas de recorrido. Como ya sabemos, el crecimiento entre octavas es exponencial:
Octava = 2 29% Octava = 2%= 4 3* Octava = 2*= 8 4% Octava = 2*= 16 5% Octava = 2”= 32
Al aplicar la raíz duodécima sobre el valor del intervalo de la quinta octava obtenemos la proporcionalidad del intervalo de cuarta temperada:
Fi14 = Ca x V25
Ca4= 261,62 Hz F4= 349 22 Hz
— _—_— _ _ _ __ _________—___— 81 €ÓóAá A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Realizando la inversión del intervalo de cuarta podemos calcular la proporción del intervalo de quinta temperada.
55074
Pero también es posible calcular la proporcionalidad del intervalo de quinta como hemos hecho con el de cuarta.
Co-Go-D1-A1-E2- B2- Ffsx - CH4 - GfA5 - Dfs - Añ5 - Eft6/F6 - C7
En el círculo de quintas se necesitan siete octavas completas para completar el recorrido. Por lo tanto es posible calcular la proporción del intervalo de quinta temperada aplicando la raíz duodécima al valor de la séptima octava:
También realizando la inversión del intervalo de quinta podemos calcular la proporción del intervalo de cuarta temperada.
—_—_— _ __ ______—.___——— 82 Ééó—— A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
En realidad la proporcionalidad de todos los intervalos del temperamento igual puede ser calculada sin necesidad de recurrir a la inversión de complementarios. Dividiendo el radicando
doce de la raíz entre el número de semitonos que separan el intervalo de la tónica obtenemos
smitonos Proporción y NE 1
su proporcionalidad:
En los casos en los que no es posible resolver la fracción con un número entero, el divisor del indice de la raíz nos indica cual es la octava que hemos de fraccionar en x partes proporcionalmente iguales para obtener la proporción del intervalo. 2
x partes iguales Ñ id | / 2 n? de octava
1 s 2 / / 6 ; s 5 Ñ Las proporciones definidas en este capítulo son expresadas en términos de frecuencia. Su aplicación en forma de longitud de onda ha de realizarse de manera inversamente proporcional, como se explica en el capítulo 6.5
2 , % ez A , A , En el capítulo 7.9 profundizamos en la cuestión realizando una comparativa entre temperamento igual y ritmo. Creo que resulta más sencillo de entender así. Se recomienda su lectura para una mejor comprensión de estas proporciones.
—_—_— _ _ _ __ _______— 83 ¿AAA A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.4- INTERVALOS DE LA SERIE ARMÓNICA
Como estudiamos en la primera parte, en la serie armónica derivada de los armónicos naturales que se producen en las ondas estacionarias, se genera una sucesión de intervalos proporcionales a la nota fundamental. Estos intervalos tienen valores aproximados con respecto a la afinación temperada.
Por cada armónico impar obtenemos una nueva nota, ya que los armónicos pares implican la duplicación de algún sonido anterior de la serie.
longitud de onda (Arm 1)
' FUNDAMENTAL E
3 x longitud de onda (Arm 3) |
Ílarm3) =3x f(arm1) G
5 x longitud de onda (Arm 5) | |
f(arm5) = 5 x f(arm1) E
f(arm7) = 7 x f(arm1) Bl
9 X longitud de onda (Arm 9) | | | | | |
fíarmo) = 9 x f(arm1) PS
La secuencia es acumulativa a lo largo de las sucesivas octavas superiores. Cuando un sonido aparece por vez primera en la serie se repite octavado en forma de armónico par en los siguientes rangos, donde van apareciendo nuevos sonidos.
En la serie armónica los intervalos se ordenan de la siguiente manera:
1 2
de C 2 3 4 E . É de 4, 5 6 7 8 E E” G” Bb” » 8 9 10 E! 13 13 14 15 16
— _—_ _ _ __ ___ _____— 84 ¿qóAMX 2 A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
METI E A Cs et ERESMA A cia
MI
10 4:98 3 7 E" | Cxlo | 100% AT AA ETE A O ide 13 |b6j-6/ Sia” (14 0: | DY] | BOL | Cxla | tenor HOC AAA
ACA EEE AO dd 22019 | b3 | Ebo | Cx19 | 2520
Los saltos interválicos entre armónicos se van reduciendo a medida que avanzamos en la serie. El primer salto es de una octava(1-2), después se genera un salto de quinta(2-3) y otro de cuarta (3-4). tras un salto de tercera mayor (4-5) hay dos saltos consecutivos de tercera menor (5-6, 6-7). Desde el armónico 7 hasta el 11 los saltos son de un tono (aunque estos no son homogéneos). Hasta el 21 son aproximadamente de medio tono. A partir del 22 comienzan los cuartos de tono..
1 Octava
1/2 1/2 43 1/2 45 1/2 sé
j Tono ; Tono - Tono Y Tono E Tono | Tono + Tono | Tono | pa ” E”” EH””¡ os Ab” B 8 p” pena
A'”¡
——___aa >—_ _ _>--- A t ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Para expresar la proporción de estos intervalos en el rango de una octava es necesario fraccionar. Dividimos entre dos para bajar una octava, entre cuatro para bajar dos octavas, entre ocho para bajar tres octavas...
Nota Proporción Ej: C (frec)
2 2 o DA 17/16 2 |. 22022. 1 es 2 3 o po 22 19/16 as Eo 2.2. 1) 5/4
4 A] 1/8
sp. o? o 0 )9)o3/2—— 6|-b61 A 13/8 | b7]
Al comparar las frecuencias obtenidas en la serie armónica con respecto a los intervalos en la afinación temperada apreciamos las diferencias.
Nota Serie UT EN TN
y C Proporción He
a A E A o nn A? E 3 (> E3=164,81 Hz
12/..p F3=174,61 Hz
A ne a |
ZA F*3=184, 99 Hz 2/27 G3=195,99 Hz
196,20 Hz Ab3=207 65 Hz
13/8 212,59 HZ A3=220,00 Hz
15/8
CA a e E o
— _—_— _ _ ->- _ —_______—__— 86 5EEÁÉéó AAA AAA A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
El armónico 13 corresponde a una frecuencia intermedia comprendida entre los intervalos de sexta mayor y sexta menor temperada (habitualmente se expresa como sexta menor, pues se aproxima más). El valor del armónico 11 es notablemente más bajo con respecto al valor del intervalo de tritono en la afinación temperada. Sucede de forma parecida con los armónicos 7 y 21, que también se quedan notablemente por debajo de sus relativos temperados de séptima
menor y cuarta justa. !
Afinación temperada
Bb B ;
CoDb D Eb E Flo FHl G Ab C 1 17/16 9/8 19/16 5/4 21/16 11/8 3/2 Al 7/4 15/16 ) 13/8
Intervalos de la serie armónica
1 . . . Y, . . . e. / . . . . Proporciones definidas en términos de frecuencia. La inversión de las mismas permite calcular sus respectivas longitudes de onda al ser estas magnitudes inversamente proporcionales (ver cap 6.5)
- 87 E ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.5- SERIE ARMÓNICA INVERTIDA
De forma complementaria a la serie armónica se desarrolla la serie armónica invertida (también conocida como serie subarmónica). Esta serie surge al invertir la proporcionalidad de los intervalos de la serie armónica.
Las inversiones se generan por la división de la frecuencia fundamental (en lugar de por su multiplicación). De este modo multiplicamos simultaneamente su longitud de onda en lugar de fraccionarla (por ser longitud de onda y frecuencia magnitudes inversamente proporcionales).
En consecuencia, partiendo de un sonido obtenemos nuevos sonidos progresivamente más graves, (al revés de como sucede en la serie natural). Los intervalos obtenidos son los mismos que en la serie natural pero descendentes en lugar de ascendentes, por lo que también pueden ser expresados como inversiones utilizando el nombre de sus respectivos complementarios.
Inversión Ejemplo
ALA CA AAA tea 1. Cc”
| frec2=frec1:2 $ CA
|
frec 3 = frec 1:3 A E” |
| |
| frec 4 = frec 1: 4 3 C”
) | frec 5= frec 1:5 b6 Ab
frec 6= frec1:6 4. E
| frec7=frec1:7 2 D
frec 8= frec 1: 8 8 C
88
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
El desarrollo de la serie subarmónica es por lo tanto muy similar a la serie natural. La secuencia es acumulativa a lo largo de las sucesivas octavas inferiores. Cuando un sonido aparece por vez primera en la serie se repite suboctavado en los siguientes rangos, donde van apareciendo nuevos sonidos.
IAH CI CI E CI MI
ICI E 0 E II 10 | a | bs | aw | cio | som IE CU A E A Cas | os ] + | "ro o| cm | ss E as | amo] 2 | pi] ens | mm IE CI E O A A EVA IE A IC 18 | 2 | br | mm | cas | ams 19 | wa | 6 | a | cm | som
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido de
Los saltos entre los intervalos de la serie son los mismos que en la serie natural, pero en sentido descendente.
1 Octava desc 2 ¡ qxí—]—úú4ÁA e o rn CA 2 Quinta desc 3 Cuarta desc 4 ds Er | “Br Tercera Tercera Tercera 4 mayor desc 9 menordesc 6 menor desc / Tono 8 + Ab' P ¡ “] 1/2 1/2 1/2 1/2 Tono 2 Tono 10 Tono Tono 12 Tono 13 Tono 14 Tono 15 Tono 16
e Bb Ab Gb F E D Db C
Los intervalos de la serie subarmónica pueden ser expresados en el rango de una octava descendente al invertir las fracciones de los intervalos que estudiamos en el capitulo anterior para la serie natural.
(frec) Cc E E
| 5.014 | s3/a—
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido eN
Obtenemos los intervalos de la serie subarmónica en sentido ascendente al multiplicarlos por dos (ya que esto supone ascender de octava).
Serie subarmónica ascendente
De este modo, cada intervalo puede ser expresado a partir de dos proporciones perfectas (la obtenida a partir de la serie armónica y la obtenida a partir de la serie subarmónica). Los dos resultados para cada intervalo no van a coincidir de manera exacta en ningún caso como sí sucede entre complementarios del temperamento igual. Esto ocurre porque las proporciones de cada intervalo han sido calculadas a partir de dos armónicos diferentes. Los armónicos suponen una aproximación a las notas del temperamento igual, pero siempre existe alguna
desviación. 1
2112 /2/|/b313_4- [($4/b5 5 _b6 6 1b7| 7 18
| F |FH/Gb_ G__Ab
CD |D]|E E Bb BCO ips |ojs |i/e|s/4 2/16] 1/8 | 3/2 | 1878 [7/4 [1/8 | 2 sas pe77] 1673 | 3/8 | 10/11 [02/21] 8/5 ] 32/09] 16/9[32/17| 2
E Proporciones en términos de frecuencia. Longitudes de onda de manera invertida. (ver cap 6.5)
z 1 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido id
2.6- QUINTAS Y CUARTAS
INTERVALO DE QUINTA
Después del intervalo de octava es el intervalo de quinta el que mayor consonancia ejerce sobre la nota fundamental. Al combinar ambas se genera la sensación de aumentar la sonoridad y la resonancia. Esto se debe a la relación existente entre el intervalo de quinta con respecto al tercer armónico de la nota fundamental.
Como vimos en la primera parte de este estudio, la longitud de onda del tercer armónico es tres veces más pequeña que la de la frecuencia fundamental, por lo tanto su frecuencia es el triple.
longitud de onda (Frecuencia fundamental)
3 x longitud de onda (Arm 3) | | | | |
La frecuencia del tercer armónico se corresponde con el intervalo de quinta en el registro de la segunda octava.
Como ya sabemos, existe una ligera diferencia entre el valor relativo al tercer armónico y la quinta temperada.
Serie armónica C3= 130,80 Hz G=Cx3/2 = 196,20 Hz
Afinación temperada (G3= 195.99 Hz
— _—_ _ _ __ ___ _____— 92 E ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
INTERVALO DE CUARTA
El intervalo de cuarta es el complementario de la quinta. La distancia que hay entre el intervalo de quinta y el de octava es una de cuarta.
F 4V8c
Al invertir la proporcionalidad del intervalo de quinta obtenemos la proporción del intervalo de cuarta. Por lo tanto el intervalo de cuarta se corresponde con el tercer subarmónico, cuyo valor relativo es muy aproximado con respecto a la cuarta temperada.
AS C3= 130,80 Hz
Afinación temperada Es= 174.61 Hz
EL CÍRCULO DE QUINTAS Y CUARTAS
La diferencia que existe entre las quintas perfectas y las quintas temperadas es muy leve. Lo cierto es que las quintas temperadas pierden consonancia y sonoridad frente a las quintas perfectas, sin embargo el modelo temperado de doce sonidos permite unir las doce notas en un circulo de quintas proporcionalmente iguales entre sí, lo cual favorece la posibilidad de tocar en todas las tonalidades. Tras una serie de doce quintas temperadas consecutivas el circulo se cierra volviendo a la nota de origen.
Dada la relación existente entre quintas y cuartas, el circulo de quintas en sentido inverso da lugar al circulo de cuartas. Tras una serie de doce cuartas temperadas consecutivas el circulo se cierra volviendo a la nota de origen.
— _—_ _ _ __ ___ _____— 93 ¿q e ——— A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Círculo de quintas-cuartas temperadas
Las cinco primeras notas del círculo de quintas dan lugar a la escala pentatónica mayor y de las siete primeras se obtiene la escala diatónica. 1?
Pentatónica mayor Escala diatónica 5 5 MTI... A AA AA
CGODA E CDE qa Á 1.2 3 56
A Repaso del capítulo 1.4
— _—_— _ _ _ _——_»--___. —___- 94 E ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Igualmente la secuencia acumulativa de las alteraciones en la armadura para las diferentes tonalidades sigue el patrón del circulo de quintas y cuartas. Desde F+* los sostenidos van apareciendo por intervalos de quinta. BHEl orden resultante .es el siguiente: "F4,CH4,G%A,DA,AH,EH,B+". A partir del octavo sostenido aparecen los sostenidos dobles y se repite la secuencia anterior. Los bemoles aparecen por intervalos de cuarta y el orden resultante es exactamente el inverso con respecto a la secuencia de sostenidos: "Bb,Eb,Ab,Db,Gb,Cb,Fb".]
El circulo de quintas temperadas permite transportar y tocar en todas las tonalidades con una afinación estable. Con las quintas perfectas esto no es posible. Tras una serie de doce quintas perfectas el resultado es una frecuencia aproximadamente un cuarto de tono por encima de la original.
Círculo de quintas naturales
1) Y SEO O SS |
a, 01122,
Tras una serie de 53 sonidos el resultado se aproxima bastante, sin embargo al no existir coincidencia matemática entre la serie de octavas y la de quintas el circulo de quintas perfectas nunca llega a cerrarse. Con los doce primeros sonidos de la espiral se genera una quinta muy desafinada entre el último sonido de la serie y el primero. Este intervalo es conocido como la "quinta del lobo" ya que su sonido es estridente como el aullido de un lobo.
Durante el periodo renacentista y barroco se desarrollan diferentes sistemas de afinación en busca de un modelo con doce sonidos válido para tocar en todas las tonalidades. Dividiendo el intervalo de una octava en doce semitonos proporcionalmente iguales entre sí se consigue la proporcionalidad igual de todos los intervalos de quinta. La quinta temperada es ligeramente más baja que la quinta natural, pero sirve para compensar los desajustes de la espiral de quintas perfectas y conseguir asi un modelo circular. 2
] Repaso de los capítulos 1.4, 1.5 y 1.6
¿:_-_ __ ee — —— E E ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.7- INTERVALO DE TRITONO
1
| b5-44 |
El intervalo de cuarta se encuentra a dos tonos y medio de la fundamental. El intervalo de quinta a tres tonos y medio. A medio camino entre estos dos nos encontramos con el intervalo de tritono (asi llamado por encontrarse a tres tonos de la fundamental). Según el contexto armónico se entiende como una quinta disminuida (b5) o como una cuarta aumentada (+4) (Intervalos enarmónicos). También a veces como undécima aumentada (+11).
6 a
Y
Le TRITONO
15/44 11)
En armonía moderna, el tritono se suele utilizar como elemento tensionador. En los cantos religiosos de la Edad Media era conocido como "Diabolus in Musica" y se evitaba su uso por su naturaleza "satánica".
En el sistema temperado el intervalo de octava es dividido en doce semitonos proporcionalmente iguales entre sí. El tritono se encuentra justamente en la mitad, a seis semitonos temperados de la fundamental, por lo tanto el tritono divide el intervalo de octava en dos mitades proporcionalmente iguales entre sí.
— _—_ _ __ __—_—____ _. _u__— 96 (¿q — e — —— A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
La distancia que existe entre una nota y su tritono es proporcionalmente igual a la distancia existente entre este intervalo y la octava de la nota original.
Los intervalos de cuarta aumentada (44) y quinta disminuida (bo), además de enarmónicos, también son intervalos complementarios. (Es el único caso en el que se dan ambas condiciones).
F+* es cuarta aumentada de C mientras que C” es quinta disminuida de FF.
En ambos casos se produce un intervalo de tritono.
Hemos estudiado en capítulos anteriores la proporcionalidad del intervalo de tritono en el sistema temperado. Al multiplicar una frecuencia por la raíz cuadrada de dos obtenemos el valor de su intervalo de tritono. Si repetimos la operación con la frecuencia obtenida el resultado será el doble de la frecuencia inicial, es decir la misma nota una octava por arriba.
CxV2=F+
FHxV2=C'
E
— _—_— _ _ _ __ _________—___— 97 A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
: cs En la ecuación el radicando dos
ed N- de divisiones representa la proporción del intervalo X de octava (ya que este se obtiene al multiplicar por dos la frecuencia fundamental) y el indice de la raíz representa el número de notas en los que se desea dividir el intervalo de
N octava.
intervalo de octava
En el temperamento igual de doce sonidos existen únicamente seis combinaciones posibles para producir tritonos.
Pero en función del contexto armónico utilizamos diferentes enarmónicos para nombrar a las notas de estas seis combinaciones.
— _—_ _ _ __ ___ _____— 98 (¿qóáAAA2 222 A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
El valor del armónico once se aproxima al tritono temperado en el registro de la cuarta octava.
Cx11=PFF" longitud de onda (Arm 1)
( ' FUNDAMENTAL
¡ C
11 x longitud de onda pi 7 1)
NANANAAAANNN a te UUVUVU VI Y Um
Sin embargo este valor es notablemente más bajo con respecto al tritono temperado.
C3= 130,80 Hz
Otra peculiaridad muy interesante entre dos sonidos a distancia de tritono es que comparten sus respectivos intervalos complementarios.
ia
Este factor es determinante en el uso de sonidos a distancia de tritono como eje para generar simetrias. En la quinta parte de este estudio dedicamos especial atención a las posibilidades de este fenómeno.
— _—_ _ _ __ ___ _____— 99 (¿qÁ—_——— A A ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
La proporción de tritono es la expresión matemática más sencilla y básica para comprender el funcionamiento del temperamento igual. Su formulación se deriva de una sencilla regla de tres.
Una nota es proporcional a su tritono como dicho tritono lo es a la octava de la nota inicial. Por lo que uno es al tritono, como el tritono es a dos:
LL — ————rO2 F ao. VO.
QU” FO Trit O Trit e 1
1 —— Trit Tri: —— 2
Trit = 2x1
La raíz cuadrada de dos está considerado como uno de los primeros números irracionales conocidos. Aparece en tablillas babilónicas del segundo milenio antes de Cristo y también en
textos matemáticos de la antigua India. !
Está muy vinculado a la naturaleza geométrica, ya que lo encontramos en la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen la misma medida.
1+ 1=h
1 h = V2
1
Según el Teorema de Pitágoras, la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. En un triangulo rectángulo cuyos catetos valen uno obtenemos el valor de la raíz de dos para la hipotenusa al despejar la ecuación.
Su valor numérico contiene infinitos decimales (característica propia de los números irracionales), siendo los primeros 1.41421... Solamente el número TT ha sido calculado con mayor precisión.
Su historia está plagada de curiosas anécdotas, como la sentencia de muerte aplicada sobre Hipaso de Metaponto por demostrar la irracionalidad de este número. Los pitagóricos no
* Tabla babilónica YBC 7289 (2000-1650 a.C.) India (600-300 a.C.) Baudhaiana-sulba-sutra.
£-. o _ >. _______ -__ _ »-___ o. AS 10 A E _r——————________—__——__——————————_—_———Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
aceptaban la irracionalidad numérica por creer ciegamente en su definición absoluta como medida, por lo que Hipaso es condenado a morir ahogado en el mar.
Esta proporción ha sido empleada con mucha frecuencia en la arquitectura islámica. Tiene además múltiples usos en la vida cotidiana. Define la máxima tensión eléctrica soportada de la corriente alterna monofásica sobre el valor eficaz indicado. Es empleado también en fotografía para la apertura del diafragma.
La norma internacional DIN que rige el uso del papel emplea un rectángulo cuyos lados tienen la proporción uno x raíz de dos. Esto permite que al doblar el papel por la mitad obtengamos otro rectángulo con exactamente las mismas proporciones, lo cual facilita enormemente la impresión de un mismo diseño a distintos tamaños.
q. «<-_xñt[L____——_—_—____ o. ___--.-_ RR 10 1 E —————————_——_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.8- TERCERA MAYOR, SEXTA MENOR [y enarmónicos (b4-+5)]
1
bÓ-45 | b4-3
TERCERA MAYOR
Dos tonos por encima de la fundamental se sitúa el intervalo de tercera mayor. Su frecuencia tiene un valor relativo bastante aproximado con respecto al quinto armónico de la frecuencia fundamental.
longitud de onda (Arm 1)
' FUNDAMENTAL
fíarm5) = 5 x f(arm1)
El quinto armónico se corresponde con el intervalo de tercera mayor dos octavas por encima de la frecuencia fundamental.
Ea Ea és 10 HZ
El valor de la tercera temperada es ligeramente más alto con respecto al valor relativo del armónico 5.
C3= 130,80 Hz Serie armónica E =Cx 5/4 == 163,50 Hz
Afinación temperada Ez =Cx 2 = 164,81 Hz
Esta diferencia es apreciable por el oido humano. A pesar de ello el intervalo de tercera mayor es considerado como intervalo consonante por su proximidad con la proporción del quinto armónico.
En algunos sistemas de afinación se tienen en consideración las terceras perfectas, pero la tendencia de anteponer la consonancia de las quintas ha provocado la costumbre de escuchar el intervalo de tercera mayor por encima de su afinación natural. Por esa razón se puede percibir la tercera natural un poco apagada, como si estuviese baja de afinación.
q <--_ — >. o _ ._- «o . --__zñz AS 1 0 > E -——————————_—_—_—_—_—_—Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
SEXTA MENOR
El intervalo de sexta menor es el complementario de la tercera mayor. La distancia que hay entre el intervalo de tercera mayor y el de octava es de una sexta menor.
Igualmente, la distancia entre el intervalo de sexta menor y el de octava es de una tercera
mayor.
En el sistema temperado la nota fundamental junto con el intervalo de tercera mayor y el intervalo de sexta menor configuran un triángulo equilátero donde la distancia desde una
nota a la siguiente es siempre de dos tonos.
1 C
En el capitulo "1.7- Geometría del temperamento igual" ya estudiamos la relación triangular entre estas tres frecuencias. Como ya sabemos, para dividir el intervalo de octava en intervalos proporcionalmente semejantes hacemos uso de la raíz x de dos.
Ne de divisiones En la ecuación el radicando dos hace referencia
a la proporción del intervalo de octava y el indice de la raíz corresponde al número de notas en los que se quiere dividir la octava.
Intervalo de octava
103 2. Intervalos
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido
Por lo tanto para dividir el intervalo de octava en tres intervalos proporcionalmente iguales entre sí es necesario aplicar la raíz cúbica de dos.
YN de
== Ab x YZ=C* M5
CxvV2=E
Ex V2Z= Ab
CUARTA DISMINUIDA Y QUINTA AUMENTADA
El intervalo de cuarta disminuida (b4) es enarmónico de la tercera mayor. El intervalo de quinta aumentada (+5) lo es de la sexta menor. Además estos dos intervalos también son complementarios entre si.
b4=3 H5=b6
Como consecuencia de la relación triangular entre estas tres frecuencias, tomando como fundamental cualquiera de ellas los roles de [tercera mayor-cuarta disminuida y [quinta aumentada-sexta menor] se reparten siempre entre estos tres sonidos.
En función del contexto armónico se 1 | 3/b4 | 45/b6 utilizan unos enarmónicos u otros para nombrar a las notas, pero en el sistema temperado los sonidos corresponden siempre a las mismas tres frecuencias.
En el temperamento igual de doce sonidos existen cuatro posibilidades básicas para formar triángulos equiláteros. Son las siguientes:
£-. o -—— == ._—_-_-__—_ -- __»>--_= AS 104 5 z—_———_———————_——_—Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
En función del contexto armónico se utilizan unos enarmónicos u otros para nombrar a las notas, pero a efectos prácticos son estas cuatro las posibilidades reales de las que
TRIADA AUMENTADA
disponemos.
La triada aumentada se forma con la fundamental junto con los intervalos de tercera mayor (3) y quinta aumentada (+5).
La triada aumentada se forma con dos terceras mayores consecutivas. En el sistema temperado, como consecuencia de la relación triangular entre estas tres frecuencias, las proporciones entre intervalos son similares desde cualquiera de las notas (aunque necesitamos hacer uso de los intervalos enarmónicos para que todo cuadre correctamente).
b6=+*5 b4=3
q <--_ — >. o _ ._- «o . --__zñz AS 1 05 E5EE>-—————————__—_—_—_—__— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.9- TERCERA MENOR, SEXTA MAYOR [y enarmónicos (+2-bb7)]
bb7-6 42-b3
Un tono y medio por encima de la fundamental (y medio tono por debajo de la tercera mayor ) se sitúa el intervalo de tercera menor (b3).
La tercera menor imprime un carácter más "melancólico" y tenso frente a su homónimo mayor debido a una menor consonancia con respecto a la nota fundamental.
El intervalo de sexta mayor es el complementario de la tercera menor. La distancia que hay entre el intervalo de tercera menor y el de octava es de una sexta mayor.
Igualmente, la distancia entre el intervalo de sexta mayor y el de octava es de una tercera menor.
El intervalo de tercera menor está a una distancia de tono y medio con respecto a la fundamental, justamente la mitad de un tritono. Por eso dos intervalos de tercera menor consecutivos dan lugar al intervalo de tritono.
En el sistema temperado la nota fundamental junto con sus intervalos de tercera menor, quinta bemol y sexta mayor forman un cuadrado donde la distancia de una nota a la siguiente es siempre de un tono y medio.
q. «<-_ ñ_-___ == ____ ________-_ _--_o 5 AS 1 0 6 3E----——————oooo__ O_O O 22/2/ —Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
En el capitulo "1.7- Geometría del temperamento igual" estudiamos la relación cuadrangular
existente entre estas cuatro frecuencias
Ne de divisiones Xx En la ecuación el radicando dos hace referencia
a la proporción del intervalo de octava y el indice de la raiz corresponde al número de
notas en los que se quiere dividir la octava. Intervalo de octava
Por lo tanto para dividir el intervalo de octava en cuatro intervalos proporcionalmente iguales entre sí es necesario aplicar la raíz cuarta de dos.
Cx V2= Eb Eb x V2= Gb Eb
Gbx V2=A
Ax V2=C'
SEGUNDA AUMENTADA Y SÉPTIMA DISMINUIDA
El intervalo de segunda aumentada (+2) es enarmónico de la tercera menor. El intervalo de séptima disminuida (bb”7) lo es de la sexta mayor. Además estos dos intervalos también son
complementarios entre sí.
2=b3 GÉJICA Ls ESCANER , Ea EE
q. «<-_ ñtú-_- _—_--_—— o . ___ o --___== 1 07] E —_——_—___—__—______— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Como consecuencia de la relación existente entre las cuatro frecuencias de nuestro cuadrado temperado, tomando como fundamental cualquiera de ellas los roles de [tercera menor- segunda aumentada] , [cuarta aumentada-quinta disminuida] y [sexta mayor-séptima disminuida] se reparten siempre entre estos mismos cuatro sonidos.
En función de las leyes tonales se utilizan unos enarmónicos u otros para nombrar a las notas, aunque a efectos prácticos en el sistema temperado los sonidos se corresponden siempre con estas cuatro frecuencias.
2 1 | *2/b3 6/bb7
En el temperamento igual de doce sonidos existen tres posibilidades básicas para formar cuadrados. Son las siguientes:
En función del contexto armónico se utilizan unos enarmónicos u otros para nombrar a las notas, pero a efectos prácticos son estas tres las posibilidades reales de las que disponemos.
2 |mm/C4/Db| Ds/E/ro | r/G/aw | A*/Bb/coo
_3 | coo/D/ew0 | 2o/F/cvo | G*/Ab | am/B/co
_-. — € --_____________ --.-___ --___ .---__ AS 108 5 E_——————_—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
TETRADA DISMINUIDA
La tetrada disminuida se forma con la fundamental junto con los intervalos de tercera menor (b3), quinta disminuida (b5) y séptima disminuida (bb”).
La tetrada disminuida se forma con tres terceras menores consecutivas
Como consecuencia de la relación cuadrangular entre estas cuatro frecuencias en el temperamento igual, las proporciones entre intervalos son similares desde cualquier nota
(aunque necesitamos hacer uso de los intervalos enarmónicos para que todo cuadre correctamente).
6=bb7 H4=b5 H2=b3
_-. — ---___-_________ --.-___--____ o AS 10 5 E -———________—_—_—_—Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.10- SÉPTIMA MENOR Y SEGUNDA MAYOR
_Z, 1 Ú— yA. 72
SEPTIMA MENOR Cinco tonos por encima de la fundamental y un tono por debajo del intervalo de octava, se
encuentra el intervalo de séptima menor (b7).
El valor de este intervalo es bastante aproximado con respecto al valor relativo del séptimo armónico de la frecuencia fundamental. La frecuencia del séptimo armónico se corresponde
con la séptima menor de la nota fundamental en el registro de la tercera octava.
Cx”7=Bb"
longitud de onda (Arm 1) ' FUNDAMENTAL C
7 x longitud de onda (Arm 7) | | ] | | flarm7) = 7 x farm!) Bl
El valor de la séptima menor temperada es ligeramente más alto con respecto al valor relativo
del armónico 7.
C3= 130,80 Hz serie armónica Bb =Cx7/4=228,90 Hz
Afinación temperada Bb; = 233.08 Hz
z 1 == E 37 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
El temperamento igual de doce sonidos divide el intervalo de octava en doce semitonos proporcionalmente iguales entre sí. Doce semitonos equivalen a seis tonos, por lo tanto para dividir el intervalo de octava en seis tonos proporcionalmente iguales entre sí aplicamos la raíz sexta de dos.
Para calcular la frecuencia de la séptima menor temperada podemos dividir la frecuencia del intervalo de octava entre la raíz sexta de dos y obtenemos el valor correspondiente a bajar un tono temperado.
2 x Cs :1V2= Bbs
SEGUNDA MAYOR
El intervalo de segunda mayor es el complementario de la séptima menor. La distancia que hay entre el intervalo de séptima menor y el de octava es de una segunda mayor.
_-. — ---___-________-._-____- --____ ---__ o AA 11 1 3 zr>_————————_——_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
El intervalo de segunda mayor se sitúa un tono por encima de la fundamental.
Para calcular la frecuencia del intervalo de segunda mayor multiplicamos por la raíz sexta de dos la frecuencia fundamental y obtenemos el valor correspondiente a subir un tono temperado.
6 Cs X V 2 = D; NOVENA MAYOR
Cuando el intervalo de segunda mayor aparece en el registro de la segunda octava es común definirlo como intervalo de novena mayor.
El intervalo de novena mayor se sitúa a una quinta de distancia con respecto al intervalo de quinta. La consonancia de estos dos intervalos con la fundamental genera sensación de suavidad y proporcionalidad al oido.
Como ya sabemos, la frecuencia del intervalo de quinta se corresponde con el tercer armónico de la frecuencia fundamental.
Cx3=G
Puesto que el intervalo de novena se sitúa a una quinta de distancia con respecto al intervalo de quinta, el intervalo de novena se corresponde con el tercer armónico del intervalo de quinta.
G'x3=D""
q <--_ — >. o _ ._- «o . --__zñz AS 112 __————__—_—_—_—_—Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
Multiplicar dos veces por tres equivale a multiplicar por nueve, por esa razón multiplicando por nueve la frecuencia fundamental obtenemos el valor de la novena mayor en el registro de la cuarta octava. La frecuencia del intervalo de novena se corresponde en consecuencia con el noveno armónico de la frecuencia fundamental.
Cx9=D"
longitud de onda (Arm 1)
' FUNDAMENTAL
¡9 x longitud de onda |
(Arm 9) | | | | |
Í(armo) =9 x f(arm1)
| | | V | y | | | La”
Ca=130,80 Hz D=Cx9/8=147,15 Hz
Afinación temperada Di =Cx 2/2 = 146,83 Hz
El valor de la segunda temperada es ligeramente más bajo con respecto al valor relativo del noveno armónico.
_-. — € --_____________ --.-___ --___ .---__ AS 1 1 3 5 E _——_—_——_———————————_—_—Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
2.11- SÉPTIMA MAYOR Y SEGUNDA MENOR TT Ab2
SEPTIMA MAYOR
Cinco tonos y medio por encima de la fundamental y medio tono por debajo del intervalo de octava se encuentra la séptima mayor (7).
Para calcular la frecuencia de la séptima mayor temperada es necesario bajar un semitono temperado desde el intervalo de octava. Para ello simplemente dividimos la frecuencia de la octava entre la raiz duodécima de dos.
2x C3:'V2 = B3
La séptima mayor se sitúa a una quinta de distancia con respecto al intervalo de tercera mayor y a una tercera mayor con respecto al intervalo de quinta. Por esa razón entra en consonancia al combinarlo con estos intervalos.
_-. — € --_____________ --.-___ --___ .---__ AS 111 5-5 5 -_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—___—_————— _—Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
El tercer armónico se corresponde con el intervalo de quinta. El quinto armónico con el de tercera mayor. Puesto que es posible llegar al intervalo de séptima mayor subiendo una quinta desde el intervalo de tercera mayor o bien subiendo una tercera desde el intervalo de quinta, podemos multiplicar tres por cinco para calcular la frecuencia correspondiente al armónico de séptima mayor natural.
Cx3=G --Gx5b=B"" Cx5= E" -- E x3=B "
Tres por cinco son quince, por lo tanto multiplicando por quince la frecuencia fundamental obtenemos la frecuencia correspondiente al armónico de séptima mayor.
Cx15=B""
longitud de onda (Arm 1)
y ' FUNDAMENTAL
| | Ea
15 x longitud de onda (Arm 15) |
A A A A LV] N / Ñ Ñ —fíarm15) = 15 x fíarm1) UU VU ns
El decimoquinto armónico se corresponde con el intervalo de séptima mayor en el registro de la cuarta octava. El valor de la séptima mayor temperada es ligeramente más alto con respecto
al valor relativo del armónico quince.
Ca= 130,80 Hz B =Cx15/8=245,25 Hz
Afinación temperada B3=2xC3: 2/2 = 246,94 Hz
_-. — € -_____________ --.-—____ --__ o AS 115 5 > z-_——_———__—_—_—___— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
SEGUNDA MENOR
El intervalo de segunda menor es el complementario de la séptima mayor. La distancia que hay entre el intervalo de séptima mayor y el de octava es de una segunda menor.
Para calcular la frecuencia de la segunda bemol temperada es necesario subir medio tono temperado desde la fundamental. Para ello multiplicamos por la raiz duodécima de dos su frecuencia.
Cax 'V2 = Dbs
El armónico 17 se corresponde con el intervalo de segunda menor en el registro de la quinta octava.
Cx17=Db""
Su valor relativo es levemente más alto con respecto a la segunda menor temperada.
Cs= 130,80 Hz Db =Cx17/16=138,97 Hz
Afinación temperada | Dhbz-—C3x 12 = 138,59 Hz
q <--_ — >. o _ ._- «o . --__zñz AS 11 5¿ 5 -_——_——_——_——_____—__— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
El intervalo de segunda menor es considerado como "disonante" y en muchos modelos como sonido a evitar. Cuando dos sonidos a una distancia de medio tono suenan al unisono se producen batimientos entre sus frecuencias que provocan la sensación de tensión.
NOVENA MENOR
Cuando el intervalo de segunda menor aparece en el registro de la segunda octava es común definirlo como intervalo de novena menor.
Al situarse a un tritono de distancia con respecto al intervalo de quinta es considerado también como generador de tensión.
_-. — -___-_________ --.-___- --____ o AS 1 1 > EE _—_———__—__—_—_—_—_—_——o ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 2. Intervalos
3. ACORDES
3.0 Cifrado de acordes.
: 118 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
3.0- CIFRADO DE ACORDES
En el bloque anterior hemos analizado las relaciones bicordales entre una nota raiz y sus respectivos intervalos teniendo en cuenta la naturaleza del temperamento igual y sus aproximaciones a los sonidos de la serie armónica. En este tercer bloque ampliamos la perspectiva formando estructuras compuestas por varios sonidos atendiendo a las relaciones interválicas que se generan.
Por definición un acorde es la agrupación de tres o más notas ejecutadas simultáneamente. Cuando las notas del acorde son alternadas ritmicamente hablamos de arpegio. La polifonía renacentista deriva progresivamente en la aparición del acorde como consecuencia de la consonancia existente entre la fundamental y los intervalos de tercera y quinta. La armonización de las diferentes voces en el contrapunto renacentista termina por consolidar la utilización del acorde y la estructura armónica en el periodo barroco.
El cifrado de acordes es un tipo de escritura musical que permite referenciar la armonía musical sin necesidad de escribir todas las notas del acorde en el pentagrama. Es de gran utilidad en la improvisación para conocer la estructura armónica sobre la que desarrollar una melodía solista o un acompañamiento, pero también lo es a la hora de componer o escribir arreglos musicales.
Durante el periodo barroco el bajo continuo era la técnica utilizada. Con un cifrado numérico en la linea del bajo se referenciaba el acorde y la inversión a realizar por el teclista acompañante a quien se le concedía la licencia de realizar la ejecución libremente.
A partir del clasicismo y durante el periodo romántico se tiende a escribir con gran detalle la ejecución musical al completo, con lo cual el uso del bajo cifrado se reduce prácticamente a sus aplicaciones didácticas en el estudio de la armonía.
En nuestro estudio utilizaremos el sistema del cifrado americano. El Jazz americano popularizó su uso durante el siglo XX y su aplicación progresivamente es incorporada en otros estilos musicales.
Atendiendo a la distribución interválica, es posible construir un acorde por saltos de tercera, por saltos de cuarta-quinta, por saltos de segunda, o por la combinación de los anteriores. Comenzaremos por desglosar las clásicas triadas y sus inversiones, ya que son históricamente el origen de los acordes. Las estructuras formadas por sucesiones de terceras dan lugar a la formación de los acordes de séptima y a los acordes extendidos. El enfoque cuartal, los "acordes cluster" y los poliacordes son de incorporación más reciente (finales del XIX, principios del XX), por lo que no suelen ser tenidos en consideración en los enfoques más conservadores.
Por otro lado, veremos también como la sonoridad de un acorde puede variar en función de la disposición de sus notas. Las inversiones a veces modifican por completo el efecto acústico que se genera y son bastante frecuentes las ambigúedades en las que un acorde híbrido puede ser interpretado de diferentes maneras. Por lo general es el contexto el que determina cuál es el enfoque más "correcto", aunque tampoco está de más valorar que el cifrado de acordes no deja de ser un convencionalismo que nos permite estructurar los sonidos para analizar y comprender su manejo, no es un fin en sí mismo.
q. «<-_ -_ »>--___--______ o .-__ _ «o_o OC AS 11 5E5 _——_—_—_—_—______——————_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.1- TRIADAS BÁSICAS
Se denominan triadas a los acordes de tres notas. En este capítulo vamos a estudiar las triadas que podemos obtener al disponer los acordes por saltos de tercera, ya que es este el procedimiento originario en la formación de acordes. Estas triadas estarán por lo tanto constituidas por la fundamental y los intervalos de tercera y quinta. Según los diferentes tipos de tercera y quinta obtenemos diferentes tipos de triada. 1
La TRIADA MAYOR contiene un intervalo de tercera mayor y una quinta justa. La fundamental es la nota que define el acorde y no requiere de ningún tipo de anotación en su nomenclatura ya que es este el acorde más básico.
Es la triada con mayor consonancia porque los intervalos de tercera mayor y quinta justa se corresponden con los armónicos cinco y tres de la frecuencia fundamental (de manera aproximada en el temperamento igual). Además, la triada mayor aparece ordenada de manera natural en la serie armónica entre los armónicos 4,5 y 6.
longitud de onda (Arm 1) A a — FUNDAMENTAL E
2 X longitud de onda (Arm 2)
a A e A - A A fíarm2) =2 x fíarm1)
¿3 x longitud de onda (Arm 3) ae a a "5 -
TN fíarm3) =3 x fíarm1)
4 x a de onda (Arm 4)
la a
' vS
5 farma) =4A x Tíarm1)
: fíarm5) =5x fíarm1)
4 Tíarm6) = 6 x f(arm1)
1 Y . Y . . . . Hablaremos en próximos capítulos de otro tipo de triadas, como son las triadas suspendidas o cuartales.
£. -- ---_—__.-—_—_- --_____ _ __ o . —..—-—-_—__ AS 12 E _—___—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
La TRIADA MENOR contiene una tercera
menor y una quinta justa. Para VrY1 diferenciarlo del acorde mayor se indica
con una "m" a la derecha de la nota Do Menor fundamental en su nomenclatura. ?
Si bien la consonancia de la triada mayor se explica teóricamente por su concordancia con los armónicos de la serie natural, es común hacerlo también con la triada menor a partir de la serie subarmónica. La triada menor aparece en esta serie entre los subarmónicos 6,y 4a partir del cuarto grado de la nota raíz. En el caso de la nota C obtenemos la triada menor de F.
ER | | EW ) ENTAINIA UA DAA za do C J SS frec 4 = frec1:4
0 Y
A frec 6= frec1:6 E 1
El intervalo de tercera menor imprime un carácter más "triste" o "melancólico" a la sonoridad del acorde. Tanto en la triada mayor como en la menor las notas se ordenan por terceras existiendo una tercera mayor y una tercera menor en ambos casos pero en orden inverso.
2 si a A veces se utiliza en su lugar el signo "menos" ( C- ).
£-. « o -_ _________ _ »-___ 22 A 1 2 1 5 E —————_——_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
La TRIADA AUMENTADA se forma con dos terceras mayores consecutivas.
La tensión que provoca la quinta aumentada define el enigmático sonido de este acorde. Como vimos en el capitulo 2.8 en el temperamento igual los tres sonidos de la triada aumentada
dividen el intervalo de octava en tres intervalos proporcionalmente iguales entre si.
ll C
CxV2= E Ex V2= GH GH x V2Z=C'
La TRIADA DISMINUDA se forma con dos terceras menores consecutivas.
La tensión de las terceras menores y sobretodo el tritono existente entre la fundamental y su
quinta bemol provocan la inquietante sensación de suspense que genera este acorde.
, 122 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
Las cuatro triadas principales son resultado de las cuatro combinaciones posibles entre terceras mayores y menores.
La alternancia de terceras mayores y menores genera la triada mayor y la triada menor. En ambos casos se produce la consonancia de quinta justa y por ese motivo son estas las triadas más estables.
Dos terceras mayores consecutivas forman la triada aumentada, que contiene la quinta aumentada. Dos terceras menores consecutivas generan la triada disminuida, con el intervalo de quinta disminuida. En ambos casos se genera tensión y desestabilización en el acorde.
1. 3 45 1 b3 b5 CesC E G* CmbsC Eb Gr A la
HO b5
TRIADAS INVERTIDAS
Las notas de un acorde pueden distribuirse en diferentes combinaciones sin necesidad de que sea la más grave la fundamental.
En el cifrado americano para indicar cuál es la nota del acorde que ubicamos en el bajo se escribe la nota elegida a la derecha de la nota fundamental.
En este ejemplo invertimos el acorde de "Do mayor" situando el bajo en E, su intervalo de tercera mayor.
En este otro ejemplo, el acorde de "Do menor" con bajo en G, realizamos la inversión del intervalo de quinta.
q. «<-_ _ --__-_=-__—_—____-______ __ »--__ o_o o AS 1 2 E5>——_——————————————————_——_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
En los acordes de triada existen dos posibilidades básicas de inversión. Con el bajo en la tercera (primera inversión) o con el bajo en la quinta (segunda inversión).
TRIADA rl TRIADA MENOR
Estado fundamental
Segunda inversión
Primera inversión
En la TRIADA AUMENTADA, debido a la distribución equidistante existente entre intervalos, las inversiones son equivalentes a otra triada aumentada.
Aunque las triadas aumentadas equivalentes dan lugar a la aparición de notas enarmónicas a efectos prácticos en el sistema temperado se corresponden con los mismos tres sonidos.
Como estudiamos en el capitulo "2.3-Intervalos invertidos y complementarios", cuando se produce una inversión las relaciones interválicas entre notas se modifican de acuerdo a sus respectivos intervalos complementarios.
Al invertir el intervalo de quinta se genera una cuarta entre esta nota y la fundamental. Un intervalo justo da como resultado otro intervalo justo. Un aumentado da como resultado un intervalo disminuido y viceversa.
Al invertir el intervalo de tercera se genera un intervalo de sexta entre esta nota y la fundamental. Si la tercera es mayor, la sexta será menor y viceversa.
q <--_ — >. o _ ._- «o . --__zñz AS 124 5 5E—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_______—_—_—_———_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Aunque estudiemos los intervalos como inversión, la distancia real que existe entre notas en sentido ascendente determina la sonoridad del acorde.
DISPOSICIONES ABIERTAS
Los acordes de triada pueden aparecer en los tres estados de inversión que acabamos de enumerar (estado fundamental, primera inversión y segunda inversión), siendo la nota más grave la que lo determina (tónica, tercera o quinta). 3
Sin embargo, es posible que las notas de la triada no aparezcan ordenadas por orden ascendente como hemos visto. Podemos elevar la segunda nota del acorde una octava para que esta suene como la más aguda de las tres. Cuando esto sucede hablamos de una disposición abierta en la triada (en contraposición a la disposición cerrada propia de un acorde en el que las notas se ordenan por orden ascendente de aparición).
El cifrado para estos acordes con disposición abierta es el mismo, ya que es la nota más grave la que define su estado de inversión.
ESTADO FUNDAMENTAL
3 / a y : Gó , á , y Para los acordes de séptima es posible el estado de "tercera inversión" cuando la nota más grave es el intervalo de séptima)
q. « - ñÓ - ------_-_-_-_-___ __ -.--_ > ___ _ .—_—__ A 125 —————————_—_—___—___—_—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
SEGUNDA INVERSIÓN Disposición abierta
Son posibles otras disposiciones, es también habitual que incluso aparezcan notas duplicadas. En definitiva, si el acorde contiene las tres notas de una triada, esta se define por la raíz que da origen a la triada, y su estado de inversión por la nota más grave.
Las disposiciones abiertas se utilizan tanto en triadas como en tetradas, así como para otro tipo de acordes (suspendidos, extendidos..) *
TRIADAS CON TERCERAS DISMINUIDAS O AUMENTADAS
Las cuatro triadas principales se obtienen a partir de las cuatro combinaciones posibles entre terceras mayores y menores, pero si hacemos uso de terceras aumentadas (+3) o disminuidas (bb3) son posibles otros resultados. Estos intervalos no son frecuentes en la formación de acordes tonales, por lo que suele ser más sencillo y acertado sustituirlos por intervalos enarmónicos de segunda, cuarta o sexta.
Tal es el caso por ejemplo de la triada mayor con quinta disminuida y la triada menor con quinta aumentada.
Triada mayor Triada menor
con quinta con quinta disminuida aumentada
C (b5) ¡cle] eb Cm(+*5) c|Eb
Estas interpretaciones del acorde existen como posibilidad y son utilizadas, pero también podemos emplear sonidos enarmónicos de cuarta aumentada (+4) o sexta menor (b6) para hacer un uso justificado y quizás más coherente de estas sonoridades.
Co E—__— FR OC | Eb Ab 1 [| »b3 [ b6
4 , . , ea % En el capítulo 3.6 ampliamos el concepto de las disposiciones abiertas para estos acordes.
q. < - ñÚÓ ú.---_-_--.---_-___ -___________ _.--..--. o AS 125 E-E-—_—_—_—_—_—_—ooooooooo__ O_O 2 2 A —Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
De hecho, en el caso de la triada menor con quinta aumentada, al entender el intervalo de quinta aumentada como sexta menor resulta más lógico y sencillo interpretar el acorde como una triada mayor en primera inversión.
_-. — € --_____________ --.-___ --___ .---__ AS 1 2 7] EE _————_—_—_—_—o ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.2- ACORDES DE SÉPTIMA
Si bien el término "triada" define a los acordes de tres notas, cuando el acorde es de cuatro notas utilizamos el término "tetrada".
Para los acordes de séptima añadimos una tercera más a las triadas básicas estudiadas en el capitulo anterior. Las diferentes triadas en combinación con los diferentes intervalos de séptima amplian las posibilidades de formar acordes.
Estos son los acordes de séptima comúnmente más utilizados: 1
Mayor con séptima menor Mayor con séptima mayor Menor con séptima menor Menor con séptima mayor
Semidisminuido Disminuido Aumentado con séptima mayor Aumentado con séptima menor
Al estar ordenadas por terceras las cuatro notas de una tetrada se forma una segunda triada entre los intervalos de tercera, quinta y séptima. La "consonancia" o "disonancia" de una tetrada viene determinada por las dos triadas que conviven en el acorde.
Como estudiamos en el capítulo anterior, la alternancia de terceras mayores y menores configura el modelo más "estable". Los intervalos quedan ordenados respetando la consonancia de las quintas justas y evitamos la formación de triadas aumentadas oO disminuidas.
Desde esta perspectiva, son la tetrada mayor con séptima mayor y la tetrada menor con séptima menor las más "consonantes".
1 . . . YA . . . . . En el cifrado americano de acordes el intervalo de séptima mayor (7) se cifra como "maj7" mientras que el intervalo de séptima menor (b7) se cifra como "7".
£. ===. ———_—_————— == PS 128 5 EE5->>_———_——__—_—__—_—_—__— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3 b3 3 b3 2 13 E:
a ES A EOS AOS
ld > 7 1 b5 > b7 Cmal C EG B |Cm7 C Eb G Bb A
. 9 9 9 3 AE b3 > 3
ASA AS AS A
13 5. b7 1. b3 5 7 LT Co EGB CmmrC EbG B za A A
5 b5 5 H5 3 3 b3 b3 b3 S A A A 1.3 45 7 1 b3 b5 b7 Cra E E GB Co «<C Eb Gb Bb a A a a E 5 b5 5 Tres terceras mayores consecutivas generan b3 b3 b3 un intervalo de séptima aumentada. Este PO intervalo es enarmónico de la octava, por 1 b3 b5 bb7
lo que esta tetrada sería equivalente a una C O E Eb Gb Bbb A
triada aumentada.
H7=8 b5 h
2. 2. O
11.3 $3 E Cs CC E G* Bb
SE a?
H5 b5
En el acorde MAYOR CON SÉPTIMA MAYOR existe consonancia de quinta entre la tercera mayor y la séptima mayor y consonancia de tercera mayor entre la quinta y la séptima mayor. Esta es la razón de la suave sonoridad de este acorde.
C m a En el cifrado americano el intervalo de séptima
mayor (7) se cifra como "maj?7"
Se alternan en este acorde una triada mayor y una triada menor. No se generan disonancias de quinta aumentada o disminuida.
Triada menor
z 129 == NE ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
En el acorde MAYOR CON SÉPTIMA MENOR se genera tensión debido a que la séptima menor se sitúa a un tritono de distancia con respecto a la tercera mayor.
— eZ E€E7
> 3— En el cifrado americano el intervalo de séptima menor (b7) se cifra como 7
= X
Ha OY) Ol _ Ol
QC |E|G| Bb
Triada mavor "DEA Se alternan en este acorde una triada mayor y una triada disminuida.
as 07 5 MUS
En el acorde MENOR CON SÉPTIMA MENOR no hay tensiones de quinta aumentada o disminuida entre intervalos.
Cm?
Se alternan una triada menor con otra mayor y se mantiene la consonancia de quintas justas entre intervalos.
_-. — € --_____________ --.-___ --___ .---__ AS 13 Er _—_———_____——_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
En el acorde MENOR CON SÉPTIMA MAYOR se genera tensión debido a la quinta aumentada existente entre la tercera menor y la séptima mayor.
Cmímar7>
Conviven en el acorde una Triada menor triada menor y una triada
A nee
Cmimaj7 203
El acorde SEMIDISMINUIDO añade una séptima menor a la triada disminuida. Se suele cifrar con un circulito cruzado por una línea. Es un acorde asociado a tensión por la triada disminuda entre la fundamental y los intervalos de tercera menor y quinta disminuida.
Se alternan en el acorde una triada disminuida con una triada menor.
Triada menor
_-. — ---___-________-._-____- --____ ---__ o AA 13 1 5 E5 ———_—————————_——_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
La tetrada DISMINUIDA se forma añadiendo a la triada disminuida una séptima disminuida. Se cifra también con el circulito, pero sin la linea cruzada del semidisminuido.
Este acorde está formado por tres terceras menores consecutivas y también está asociado a tensión.
Este acorde contiene dos triadas Triada disminuida IO disminuidas y en consecuencia $ (1. |.5b3 | aparcosa dés trltónos, 1
Co — AA
Triada disminuida
Por esa razón las inversiones del acorde equivalen siempre a otra tetrada disminuida.
Co 11.03 »d5|b7|| (7 1 1b3|b5|bb7
| C | Eb|Gb|Bbb| |C_|Eb| Gb | Bbb_
Co/Eb (?3 195 /bb71| 1 (1 [b3|b5 | bb7 | Eb |Gb|Bbb_ Dbb Co/Gb 95 97] 1 b3> 1 [ba] bs | bo7. CIEDEJES AI Co/Bbb P97 1 | t3> ba | bs | bb7
caco A
Aunque las tetradas disminuidas equivalentes dan lugar a la aparición de algunas notas enarmónicas a efectos prácticos en el sistema temperado se corresponden con los mismos cuatro sonidos. El intervalo de séptima disminuida (bb7) es enarmónico del intervalo de sexta mayor (6). Es también posible encontrar este acorde con la sexta mayor en lugar de la séptima disminuida. En el capitulo 2.9 ya estudiamos el acorde disminuido y como estas cuatro notas dividen el intervalo de octava en cuatro intervalos proporcionalmente iguales entre sí.
Cx1V2= Eb Eb x V2 = Gb Gb x V2 = Bbb
Bbb x V2= C'
_. — o == -__—_ _.__— o _— AS 13 2 E >_———————————_—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
El acorde AUMENTADO CON SÉPTIMA MAYOR se forma con tercera mayor, quinta
aumentada y séptima mayor.
7 H5 : La *s)maj/
Se combinan en este acorde una triada aumentada con una triada mayor.
QC |EJ|01B
Triada aumentada
se 1.2 013
5 12010801 5 Cis)maj7 > 3 ps
El acorde AUMENTADO CON SÉPTIMA MENOR se forma con tercera mayor, quinta
aumentada y séptima menor.
b7 H5 j C; *s) /
Entre la tercera, quinta aumentada y séptima menor se genera una triada mayor con quinta disminuida. Como vimos en el capítulo anterior esta triada da lugar a la aparición de una tercera disminuida, intervalo poco utilizado en el ámbito de la música tonal. 2
— Triadaaumentada —_—__|—_—_3>
1
2 bb3
Triada mayor b5
2 . ./ ./ . .
No es frecuente la aparición de este acorde en la formación de escalas modales de siete sonidos, pero como veremos en el capítulo 4.7, en armonía moderna se utilizan sonidos enarmónicos del modo Superlocrio para formar el acorde y la escala Alterada con tercera mayor, quinta disminuida, quinta aumentada, séptima menor, novena menor y novena aumentada. El
acorde encaja para este caso y es común su uso.
z 13 _-__—_—áÁKÁKÁKÁKÁKÁKÁKÁKÁKÁKÁKÁKÁ2> <a ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.3- ACORDES SUSPENDIDOS Y 'TRIADAS CON NOTA AGREGADA
Acordes suspendidos
Los acordes suspendidos se generan sustituyendo en una triada el intervalo de tercera por una segunda mayor o por una cuarta justa. Al prescindir del intervalo de tercera no definimos si el acorde es menor o mayor, lo cual provoca la sensación de suspensión y el impulso de reposar sobre alguna de las dos opciones.
Sus4
El acorde Sus4 se construye con la fundamental y los intervalos de cuarta y quinta justa.
Sus2
El acorde Sus2 se construye con fundamental, segunda mayor y quinta justa.
Los acordes de segunda y cuarta suspendida son verdaderamente diferentes inversiones de un mismo acorde, ya que se forman con los mismos sonidos. Al interpretar un acorde "sus4" a partir de su cuarto grado obtenemos como resultado las notas de un acorde "sus2" con la inversión en la quinta.
Del mismo modo, si interpretamos un acorde sus2 a partir del quinto grado obtenemos una estructura sus4 con la inversión en la cuarta.
Las notas de estos acordes también pueden ser dispuestas por cuartas o por quintas, ya que existe una relación cuartal entre sus sonidos. Por lo tanto, se pueden distribuir estas tres notas con cuatro disposiciones diferentes. 1
1 , A “> “e, /
En el capítulo 3.7 ampliamos el concepto cuartal para la construcción de acordes. Veremos también como a través de las inversiones de las triadas cuartales es posible obtener otro tipo de acordes suspendidos. [ Triadas sus +4, sus b2(b5), sus4 (b5) y sus b2 ].
q. «<-_ t[t[t[zoo _ _ -___ __ _—_____«»-».---_ == 13414 5 5E—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—___—_—_—_—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
A los acordes suspendidos les podemos añadir un intervalo de séptima. El acorde sus4 con séptima menor es quizás la combinación más habitual. Entre la cuarta justa y la séptima menor se forma otro intervalo de cuarta que aumenta la hibridación del acorde. En consecuencia, añadimos un sonido más que se presta para ampliar su distribución cuartal.
Csus4 7
Triadas con nota agregada
Paralelamente existe la posibilidad de construir acordes de cuatro notas que combinen una triada y un intervalo de segunda o cuarta. Las disonancias de segunda que se generan entre estos intervalos y los propios de la triada convierten estos acordes en una posibilidad a evitar en los enfoques conservadores. Para diferenciarlos de los acordes suspendidos indicamos con la abreviatura "add" la adición del intervalo agregado a la triada.
También es posible utilizar una cuarta aumentada, segunda menor, sexta o novena como intervalo agregado. Las relaciones interválicas entre las notas de la triada y la nota agregada definen la sonoridad del acorde en cada caso. Y
Cadab2 C Db_ E |G||Cmadaba C Db|Eb GC ¡Cadda2| CD E_G_||Cmadia | CD Fb|G Cadd4a| C 1E|_F|G||Cmad4 C|Pb| Fr 6 [Cadata | C|E_| FG Caddabó6| C || CG |Ab||Cmadabó C_|Fb|G Ab Cadd6 | C 1E|G|A||Cmadió6 C|Fb GA
| C|E_G|D| [Emadab9 | C Eb|G|DO
|C|E|G|D] PEmaddig | C Eb CG Da
2 . / a s a á az A Como se explica en el capítulo 3.7, en este libro ciframos los acordes cuartales indicando la sucesión de intervalos que se dan en el acorde. Utilizando el cifrado americano cifraríamos G 4,4 como Gsus4,7(omit 5).
3 : , s : o . / Estas sonoridades entran en el ámbito de las disposiciones por segundas, que son ampliadas en el capítulo 3.8
q. q Ó _ _ __ --____ € a —-=——__== == 1 35 E- ——_—————————————_——_—__—___—____— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.4- ACORDES DE SEXTA
Los acordes de sexta se forman agregando un intervalo de sexta a una triada. En función de si la sexta es mayor o menor y de las diferentes triadas es posible obtener las siguientes combinaciones:
Co |)(1|3_5 | 6 | Mayorcon sexta AC|E_G_| A | mayor <-5 | b6. Mayor con sexta
menor B| Menor con sexta ÁAC|Eb|G__ A mayor Cm(b6) |11bB75 b6 |Menorcon sexta menor
Cm (b5) | 1 | b3 Disminuido NET Cm (b5,b6) Menor con Eb Gb quinta Ml ani sexta menor
Aumentado con H 05) O e Es al seat magos
El intervalo de sexta mayor es enarmónico del intervalo de séptima disminuida, por lo que también es posible construir el acorde disminuido añadiendo una sexta mayor a la triada disminuida.
6=bb7
La sonoridad de los acordes de sexta viene determinada por los intervalos que se generan entre las notas de la triada con respecto al intervalo de sexta. Entre los intervalos de quinta y sexta se generan intervalos de segunda, por eso es habitual omitir la quinta para evitar disonancias.
Los acordes de sexta pueden ser interpretados como acordes de séptima en primera inversión si entendemos la sexta como raiz. Los intervalos de sexta y tercera son complementarios entre sí y definen las equivalencias entre estos acordes.
q. «<-_ ñt[ñ[ .___——_—_—__ — __—_— Q »__ —_— -_— q »P-—--——> 13 5¿ 5 E5->-———————_—__—__—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Los acordes de sexta mayor Los acordes de sexta menor equivalen a acordes de séptima con equivalen a acordes de séptima con el bajo en la tercera menor. el bajo en la tercera mayor
III |C|E G|A| C|E|[G|Ab GI) 1(3/5/6/] jb3/5/07/1/|/1/3/5/b6/ |3/*5/7/ 1
IO 3. JA([|C|Eb[G Ab| [C|Eb[G|Ab elote esa 1 /b3/5/b6| [3/5 /7/ 1
O ao Eb] Gb]A |C|Eb|Gb[Ab [C|Eb|Gb|Ab. A rsjeie me es] ia 1/03 /b5|b6/ 3,5 |b7| 1 A
Esta equivalencia entre los acordes de séptima y sexta es reversible y aunque no es habitual, podría aplicarse en sentido inverso. Los acordes de séptima se podrían interpretar entonces desde la triada que desplegamos a partir de la tercera con inversión en la sexta.
Cuando la tercera del acorde de Cuando la tercera del acorde de séptima es mayor, la fundamental séptima es menor, la fundamental podría interpretarse como inversión podría entenderse como inversión de de sexta menor. sexta mayor Cc | E Cc 211.3 18 lo | 1 | b6
| Cm7_ /
C|JEJG| B| III |C|Eb|G | Bb| C|Eb|G_|Bb
11/38/5/7/ [b6)1/5/5//1/b38/5/7 | [6 1/3/5 Em(b5)/C
cz C|E|G|Bb| |C|E|G|Bb GEI |C|Eb|G|B_ 11138/5/b7| j¡b6/1/b3/b5/||1/b3/5/7/ 6/1 /3|*5
Ec |. co CIA [C|Eb|Gb|Bb| |[C|Eb|Gb Bb lali” b6)1/3/5//1/b3/b5/b7| 6/1 [b3/5
Co | Ebo/C C|Eb|Gb_ Bbb| |[C Eb|Gb | Bbb
[b3]05]097] [6] 1 03] 05.
_-. — ---__ o -___ _— 5-2 AAA 1 3 7] E _————_—__—_—_—_—o ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.5- ACORDES EXTENDIDOS
Hasta mediados del siglo XIX en occidente, la estructura armónica de una pieza musical se basaba fundamentalmente en la triada mayor, menor o disminuida y en el uso para generar tensión de la tetrada mayor con séptima menor. Desde el Romanticismo tardío y a partir del Impresionismo francés y los Nacionalismos, comienzan a explorarse nuevas combinaciones en busca de sonoridades que ampliasen el espectro expresivo de la armonía musical. Los acordes con intervalos de segunda, cuarta, sexta, novena, oncena o trecena comienzan a ser explorados y empleados a finales del XIX y principios del XX. Posteriormente, este tipo de acordes serán también de uso frecuente en el Jazz y en la armonía moderna.
Continuando con la secuencia de terceras de una triada o tetrada, las siete notas de una escala quedan ordenadas en un registro de dos octavas omitiendo los intervalos pares. (1-3-5- 7-9-11-13)
CDEFGABCODEFO A BP 1 3 9 Z Es 11 LA A RA A a AA A 3 b3 3 b3 b3 3
Las segundas, cuartas y sextas pasan a ser entendidas en su octava superior como novenas, undécimas y decimoterceras respectivamente.
CDEFGABCODEFO AB 2 4 6 9 11 15
De esta manera es posible construir acordes de hasta siete notas, (aunque es muy habitual omitir intervalos para formar acordes con cuatro sonidos).
La sonoridad de los acordes extendidos se basa en las relaciones existentes entre los intervalos que componen el acorde. Al ordenar por terceras las notas de la escala podemos analizar el grado de consonancia o disonancia del acorde en función de las triadas que se generan entre sus intervalos.
Como ya sabemos, la alternancia de terceras mayores y menores configura el modelo más "estable". Los intervalos quedan ordenados respetando la consonancia de las quintas justas y evitamos la formación de triadas aumentadas o disminuidas.
La primera tercera de la secuencia define si el acorde es mayor o menor. Para los MODOS MAYORES al ordenar las siete notas de la escala alternando terceras mayores y menores obtenemos el modo Lídio como resultado. — 1
1 . . . . . ./ Los modos griegos son explicados con detalle en la cuarta parte . Se aconseja su estudio previo para una mayor comprensión de este capítulo.
£. « -__--__.----=-—_——_————— == A RS 138 5 E5--—_—————_————_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
EE 13 5 7 9411 13 CE GBbBbDF A *_ 5 Sal 5 ale 5
9 9. 9 9
Por lo tanto, para los acordes mayores las extensiones consideradas como "consonantes" son la séptima mayor (7), novena mayor (9), undécima aumentada (+11) y decimotercera mayor (13)
En el modo Lidio al extender el acorde no aparecen triadas aumentadas o disminuidas entre sus intervalos, por esa razón se respeta la consonancia de las quintas dando lugar al acorde extendido con mayor consonancia.
Triada Triada menor menor
1.3 5 7 9411 13 CEAGABDA
5 1 Ss 1 3 5 O Triada Triada Triada mayor mayor mayor
Teniendo en cuenta que el modo Lídio es que el que se obtiene como resultado a partir de las primeras siete notas del círculo de quintas resulta natural y lógica la consonancia por quintas entre intervalos.
1 ) ) 2 » »
Cabe destacar que el intervalo de undécima aumentada se corresponde con la cuarta aumentada. La cuarta aumentada se sitúa a un tritono de distancia con respecto a la fundamental, por lo que es considerado como generador de tensión. Sin embargo entendido como undécima aumentada entra en consonancia de quinta con la séptima mayor.
ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Para los MODOS MENORES la alternancia de terceras menores y mayores da como resultado el modo Dórico como modelo más "estable y consonante".
2313.58 3. p8 3 1. b35 b7 9 11 13
COEbQGBbb DB! A
— A A AE _ 5 5 5 5 5
Por lo tanto, para los acordes menores las extensiones consideradas como "consonantes" son la séptima menor (b”7), novena mayor (9), undécima justa (11) y decimotercera mayor (13).
210180105 | b7 [| 9 — 11 — 13 col we a [| Bo] Do] FO | A
En el modo Dórico al extender el acorde no aparecen triadas aumentadas o disminuidas entre sus intervalos, por esa razón se respeta la consonancia de las quintas dando lugar al acorde menor extendido con mayor consonancia.
Triada Triada a AAA 1 3 > h
1685 b7Y 9 11 13 CoEbG BbD FA Triada Triodao Triada
menor menor menor
En el sistema temperado es posible ordenar todas las triadas mayores de forma alterna con todas las menores hasta cerrar el círculo de quintas.
_-. — € --_____________ --.-___ --___ .---__ AS 14 E > _—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
C-E-G-B-D-F+-A-C4-E-G+-B-D+(Eb)-F+(Gb)-(4+)Bb-Db-F-Ab-C-Eb-G-Bb-D-F-A-C
TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR MAYOR AAA BES IGSS EA SA
GbBbDbFAbCEbGBBDFACEGBDEF*ACHt*E G* B D* p+* A+ C+ Eb Gb Bb Db
TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA TRIADA ____ MENOR. MENOR. MENOR MENOR MENOR MENOR MENOR MENOR MENOR. MENOR NS puntal
De este modo obtenemos también los modos Lidio y Dórico en todos los tonos. Las triadas iniciales mayores se corresponden con el modo Lidio y las menores con el Dórico.
A CE 4646 .BDF*A C*E GB Dr + AS C* Er qe C a Eb a Bb D FACEGBOD AFA CE GB De F* A* C+ Es Ab Ab Cc Eb DO FA CGEGOBDFAA CHE a6arB De PP" Ae c+ Gb F hb C EbáAa BbDFACEÓABDFA CE q* 5 D* pe A* Db Db F AdC EbAaA BD FACEGBD FIA C+E QQ B D* F* Bb Bb Db F AbCEbAaABbDFRACEGBOD FRA C*+ E GB D* Gb
GbBbDbFAbBCEbGBBDFACEGBDF*AC+EG*BD* + Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Dor Lid Eb ab SA de
Me “E MA. E a Sl. A e
El modo Dórico es relativo menor del modo Lidio. Se sitúa una sexta mayor por encima de este (o lo que es lo mismo, una tercera menor por debajo). En el gráfico se enlazan los relativos de cada tono.
Al comparar las extensiones de los modos Lidio y Dórico encontramos que la mitad de los intervalos son comunes y la otra mitad opuestos.
LIDO (112025127219 1 *0_1.13— ¡DÓRICO| 11? /|5)]97|9]10]/ 13
q. «< -_ ñtÚ-____—_ === --- _ _ > q» »> === == 141 E > > -——_—_—Á ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Tanto para los acordes mayores como para los menores los intervalos de quinta, novena mayor y decimotercera mayor funcionan de manera "estable y consonante". Partiendo desde la fundamental constituyen los tres primeros sonidos del círculo de quintas al situarse a una quinta de distancia entre si.
Los intervalos de tercera, séptima y undécima son los que difieren entre el modo Líidio y el Dórico. El intervalo de tercera es el que define si el modo es mayor o menor. Para los acordes mayores las extensiones "estables y consonantes" son la séptima mayor (7) y la undécima aumentada (+11). Para los acordes menores lo son la séptima menor (b7) y la undécima justa (11). En ambos casos los intervalos quedan ordenados entre sí a una distancia de quinta justa.
Co] Eb | pb] Fr ba | b7 | 11 (1159
EXTENSIONES "DISONANTES"
La alteración de alguno de los intervalos que acabamos de estudiar como "estables y consonantes” conduce a la ruptura del equilibrio entre las quintas y en consecuencia a la aparición de triadas aumentadas o disminuidas. Las tensiones de quinta disminuida o aumentada y las novenas menores o aumentadas resultantes entre intervalos generan la desestabilización del acorde y un efecto "disonante". En muchos casos se utilizan este tipo de acordes para generar tensión adrede. Según ciertos modelos musicales se desaconseja la utilización de algunas combinaciones consideradas como "malsonantes". En cualquier caso no hemos de olvidar el componente subjetivo a la hora de hablar en términos de "consonancia- disonancia".
_-. — € --_____________ --.-___ --___ .---__ AS 14 E >_—————————_——_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Para los ACORDES MAYORES las principales consecuencias de utilizar estos intervalos quedan resumidas en el siguiente cuadro:
CEG PB PD TFR */|A 1135 7 A 9 A +11 O 1
Triada dism
(1/b3| |b5| | bb7
Tetrada disminuida
1 b3 72. bs
SIS
bg 12 7 77) ba) |bs 12 7) 7) (ba) |b5) > | bb7
Tetrada dism
b9 PUN CIA E
En armonía moderna el uso del intervalo de undécima justa para los acordes mayores suele ser desaconsejado por la tensión de novena menor que genera con respecto a la tercera mayor. Si además aparece la séptima mayor en el acorde se suma el conflicto de tritono con respecto a este intervalo. 2
La tetrada disminuida aparece en el acorde mayor con séptima menor y novena menor entre los intervalos de tercera mayor, séptima menor y novena menor. Este acorde es de uso muy común como dominante en las tonalidades menores. 3
21 | b3 | b5 | bb7.
Tetrada dism
2 A Y . . . Además este acorde se daría en el primer grado de la tonalidad mayor, que suele asociarse a un estado de reposo, por lo que esta disonancia puede generar una desestabilización no deseada.
3 ., : es , so. , La función tonal del dominante es la de generar tensión para resolver después sobre el acorde de tónica. Las funciones tonales son explicadas con detalle en la cuarta parte de este estudio.
£-. _— _— > ____ __ .-.-_ __---__ a 143 E5 —_—_—_—_—_—_—_—_—__Á_____—————————_—— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Es también un recurso habitual añadir una extensión de decimotercera o undécima aumentada al acorde de dominante para acentuar más su tensión. A menudo se utiliza
invertido por disposiciones cuartales omitiendo los intervalos de quinta y novena. *
En los ACORDES MENORES el uso de las "tensiones disonantes” genera principalmente las
siguientes triadas aumentadas o disminuidas entre intervalos.
ora as LA 9 9111111] 93 13
a] [es
Triada aum
Triada aum
| b9 1 b31-2—->>-— bs
4 A o. a / La disposición cuartal de estos acordes es analizada en el capítulo 3.7.
z 144 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
3. Acordes
OTRAS COMBINACIONES
Tanto para los acordes mayores como para los menores, el uso de terceras aumentadas o disminuidas entre intervalos genera la posibilidad de conseguir otras combinaciones diferentes. Como vimos en el capítulo "3.1- Acordes de triada" el uso de estas terceras puede dar lugar a la triada mayor con quinta disminuida y la triada menor con quinta aumentada.
C (b5) aa [obs —
(11. bb3
En el ámbito de la música tonal no es habitual encontrarse con estas triadas. Las terceras aumentadas y disminuidos aparecen pocas veces en la formación de escalas modales de siete sonidos.
Esta situación se da por ejemplo en el acorde mayor con séptima menor y novena aumentada. Entre los intervalos de quinta justa, séptima menor y novena aumentada se forma una triada menor con quinta aumentada.
Triada menor (+5)
Por otro lado, los acordes suspendidos, aumentados, disminuidos o semidisminuidos y los acordes de sexta también pueden combinarse con extensiones.
El acorde mayor con sexta mayor y novena mayor es un ejemplo bastante común. Es habitual la omisión del intervalo de quinta. Los saltos de cuarta que se generan entre la tercera mayor, la sexta y la novena definen su sonido. *
Al utilizar acordes que acumulan gran cantidad de extensiones hemos de tener en cuenta que aumenta la ambigúedad y la posibilidad de encontrar una interpretación más sencilla como acorde invertido. Las combinaciones posibles son múltiples, y cuanto más compleja resulta la estructura de un acorde, mayor es también la posibilidad de interpretarlo desde otro punto de vista. En cualquier caso, las relaciones interválicas entre las notas que construyen el acorde definen siempre su sonoridad.
5 ./ . E a ” También ampliamos la disposición cuartal de este acorde en el capítulo 3.7
£-. Ú -»>--_-=--=-=--_ -_-_—--_ _.-»-»-—__ === 145 E >_—_—————————_—__—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.6- INVERSIÓN DE ACORDES Y DISPOSICIONES ABIERTAS.
Las inversiones y las disposiciones abiertas multiplican las posibilidades expresivas de los acordes. Al quedar invertidas las relaciones interválicas entre notas la sonoridad resultante es diferente. No solo los intervalos de tercera y quinta son utilizados para realizar una inversión y definir la nota más grave. También es posible utilizar intervalos de novena, cuarta, sexta o séptima. 12
"Do mayor" con el bajo en "Si bemol" En este ejemplo la inversión del acorde se realiza sobre la séptima menor. (Acorde en tercera inversión)
"Do mayor" con bajo en "Re". Inversión del acorde con la novena (o segunda) en el bajo.
En los acordes con más de tres notas se multiplican las posibilidades de emplear disposiciones abiertas, por lo que un mismo cifrado puede ser empleado con diferentes disposiciones. Ponemos como ejemplo un acorde de tetrada en sus cuatro estados de inversión posibles (Estado fundamental, primera inversión, segunda inversión y tercera inversión).
1 ” a . ./ A O. . pr A / En el capítulo 3.1 definimos los conceptos de inversión y disposición abierta a partir de los acordes de triada. Este capítulo es una ampliación para comprender mejor cómo se aplican estos conceptos en acordes más complejos.
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Como estudiamos en el capitulo "2.3-Intervalos invertidos y complementarios", cuando se produce una inversión las relaciones interválicas entre notas se modifican de acuerdo a sus respectivos intervalos complementarios.
H4 ———— b5 4 5 b4 H5 3 b6 b3 6 42 ——————— bb7 Z b7 bB2 —— /
Aunque estudiemos como inversión la alteración del orden de las notas, al analizar en sentido ascendente los intervalos entendemos mejor la sonoridad del acorde. Recordemos que entre intervalos complementarios los mayores quedan asociados a los menores y viceversa, los justos a otro justo y los disminuidos a un aumentado. Como consecuencia, la inversión de un intervalo puede generar un efecto muy diferente.
Por ejemplo, al realizar la inversión del séptimo grado, las relaciones entre esta nota y las demás se modifican conforme a la relación entre complementarios.
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HIBRIDACIÓN
Las inversiones y las disposiciones abiertas pueden propiciar la posibilidad de encontrar una segunda forma de entender el acorde. Esta situación se da por ejemplo entre los acordes de sexta y séptima como tuvimos ocasión de comprobar en el capitulo "3.4- Acordes de sexta". La primera inversión de un acorde de séptima puede conducirnos a su interpretación como acorde de sexta.
Así mismo, la inversión de un acorde sobre la sexta se puede interpretar de manera más sencilla como un acorde de séptima.
Como vimos en el capítulo 3.3 esta situación también se da entre los acordes suspendidos "sus 2" y "sus 4”, ya que en realidad definen al mismo acorde cuartal en diferentes estados de
inversión y sus notas pueden ser dispuestas de cuatro maneras distintas:
Los acordes invertidos que acumulan gran cantidad de extensiones aumentan su ambigúedad y la posibilidad de ser interpretados de otra manera. En cualquier caso, como ya hemos comentado anteriormente, las combinaciones posibles son múltiples y cuanto más compleja resulta la estructura de un acorde, mayor es también su hibridación.
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3.7- DISPOSICIONES POR CUARTAS.
Los acordes cuartales se construyen disponiendo por saltos de cuarta las notas en lugar de utilizar las clásicas terceras de los acordes convencionales. Comienzan a ser utilizados por los músicos impresionistas a finales del siglo XIX y son un recurso muy habitual en el ámbito jazzístico actual. El cifrado americano está diseñado en origen para nombrar los acordes a partir de la disposición por terceras, por lo que los acordes cuartales son a veces complicados de cifrar con este sistema. 1
Las cuartas justas y aumentadas son las que se utilizan para generar su efecto característico, puesto que la cuarta disminuida por enarmonía tiene el sonido propio de una tercera mayor.
La disposición por cuartas justas permite acceder a los doce sonidos del temperamento igual, ya que nos desplazamos a través del circulo de cuartas-quintas.
Por esa razón, al invertir la disposición de las notas de un acorde cuartal las notas se ordenan por saltos de quinta.
—
| y
1 4 / E % . o á Para su cifrado en este capítulo indicamos la nota de origen y la sucesión de intervalos que se dan en el acorde.
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Comparativamente, los sonidos ordenados por cuartas justas generan mayor tensión que cuando se ordenan por quintas justas. Mientras que la serie de quintas conduce a la aparición de los intervalos mayores del primer sonido, la serie de cuartas da lugar a la aparición de los intervalos menores.
Cuartas justas Quintas justas (1,14 /b7/b3/b6/b2/b5|1/5,|2/6/|3 7/44
Las cuartas aumentadas no permiten realizar una serie de notas diferentes consecutivas, puesto que al aplicar dos tritonos seguidos volvemos a la nota original. La inversión de una cuarta aumentada genera una quinta disminuida, obtenemos en ambos casos el mismo salto de tritono.
ix W2
Me /
Pero es posible alternar saltos de cuarta justa con saltos de cuarta aumentada.
e
La primera con dos cuartas justas seguidas, la segunda con una cuarta justa seguida de una cuarta aumentada, y la tercera con una cuarta aumentada seguida de una cuarta justa.
: Empleando cifrado americano serían Csus4, 7(omit 5) Csus4 maj7(omit 5) y C susH4 maj7(omit5)
¿<-> _- --________________ _----____ o oñ o AS 1 5 l) E —_—_————————_—__—_—_—_—_—_— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
En el capítulo 3.3 vimos que los acordes suspendidos y los acordes cuartales son en realidad inversiones de un mismo acorde. Tres sonidos con relación de cuarta justa podian ser dispuestos de cuatro maneras distintas:
Estas disposiciones reflejan cuáles son las cuatro posibles inversiones para una triada cuartal del tipo 4,4. A partir de las inversiones de las otras dos triadas cuartales vamos a obtener más posibilidades para la formación de acordes suspendidos. Son las siguientes:
Para aplicar un enfoque unificado a la hora de tocar sobre las triadas suspendidas, puede ser de gran ayuda tener claro desde qué grado parte la triada cuartal original. En las triadas sus4 van a partir siempre del quinto grado, mientras que en las triadas sus2 lo harán del segundo.
I*sus4 = V” 4,4 I"sus+4 = V” 4,14 I"sus4(b5) = bV” ++4,4
I”sus2 = II” 4,4 I?susb2(b5) = bIT” 4,4 I?susb2 = bIT” 44,4
Es igualmente útil saber que a partir del cuarto grado del sus4 se sitúa el sus2 y que a partir del quinto grado del sus2 se sitúa el sus4.
I”sus4 = IV”sus2 I"sus+4 = F+IV%sus b2(b5) — I”sus4(b5) = IV” sus b2
I"sus2 = V”%sus4 I"sus b2 (b5) = bV"sus 1+4 | I”sus b2 = V” sus4(b5)
En la triada cuartal, la inversión sus4 se sitúa en el cuarto grado, mientras que la inversión sus2 se sitúa en el séptimo.
I” 4,4 = IV“sus4 I” 4,14 = IV”“sus+4 1” 44,4 = +IV“sus4(b5)
1? 4,4= bVII'sus2 1? 4,44= VII"sus b2(b5) 12 44,4= VlI“sus b2
q. - ñÚ- -_____—--==--__ »>--_ »_ === == 1 52 5 E >-_———————————_—__—___—_—_—_—__— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
La cuarta parte de este estudio se destina al análisis de los diferentes modos aplicando el enfoque tradicional por terceras para establecer los principales acordes asociados a cada uno.
Considerando que se aporta información de interés, a continuación desarrollamos la aplicación de estas estructuras cuartales que acabamos de exponer para el primer grado de los modos propios de los complejos Diatónico, Armónico Menor y Melódico Menor, así como el desglose de las escalas por cuartas y por quintas. 3
COMPLEJO DIATÓNICO
Jon 4,44,4,4,4,4,4 9,9,9,9,09,Db5,0 Sus4 Sus2 4,7,3,0,2,9,8 9,2,0,3,1,4,8
4,4,4,4,4,4,4 9,9,9,b5,59,9,09 Sus4 Sus2 4. b7,b3,6,2,5,8 95,2,0,b3,b7,4,8
4,4,4,4,4,4,4 9,95,9,9,9,9,9 Sus4 4,b7,b3,b6,b2,5,8 | 5,b2,b6,b3,b7,4,8
$4,7,3,0,2,9,8 9,2,0,3,1, 44,8 4,4,4,4,4,4,4 SN A Sus4 Sus2 4,b7,3,6,2,5,8 9,2,0,3,b7,4,8 4,4,4,4,14,4,4 9,9,b5,9,9,9,9 Sus4 Sus2 4 b7,b3,b6,2,5,8 | 9,2,b6,b3,b7,4,8 Loc 4,4,4,4,4,4,+4 b5,5,9,9,9,9,9 4,b7,b3,b6,b2,b5,8 | b5,b2,b6,b3,b7,4,8 En los complejos Armónica Menor y Melódica menor van a aparecer nuevas triadas suspendidas derivadas de los saltos de cuarta disminuida y quinta aumentada que se generan entre intervalos. Sin embargo, estas disposiciones no suelen ser entendidas por su
sonoridad dentro del ámbito cuartal, ya que por enarmonía tendrán el sonido propio de una tercera mayor /sexta menor.
1” ++4,b4 = +IV“susb4(b5)= bVII”sus2 (+5) 1” b4,+4 = bIV”sus+4(b5) = bVII”sus2(b5) I” b4,4 = bIV”sus4(+5) = bbVIT"sus+2 1? b4,4 = VI"m Triada menor (Por enarmonía) 1” 4,b4 = IV” Triada mayor (Por enarmonía)
3 % A ¿ Sobreentendemos el estudio previo de estos complejos que se desarrolla en la cuarta parte.
q. Ú --------_-=-==_. ---_-« o ____ «o_o .---._ o AS 1 53 E5E>-—_——————————————_—_—_—_—___—_— ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
COMPLEJO ARMÓNICA MENOR
4,14,b4,4,4,4,4 9,9,b5,5,+5,b5,5 Sus4 Sus2 4 ,7,b3,b6,2,5,8 95,2,b6,b3,7,4,8 Locó6 | 444:4b44,4 | b5,5,5,b5,5,5,5 4,b7,b3,6,b2,b5,8 | b5,b2,6,b3,b7,4,8
Jon ii5 4,4,44,4,4b4 |" +5,b5,9,9,9,b5,5 4,7,3,0,2,+9,8 $5,2,0,3,7,4,8
Dor 14 $4, b4,4,44,44,4 | 5,9,9,b5,0,+5,b5 Sus2 +4,b7,b3,6,2,5,8 | 5,2,0,b3,b7,t4,8
44,44 b4,444. 4 | 5b5,5,45,b5,5,5 Sus4 4b7,3,b6,b2,5,8 | 5,b2,b6,3,b7,4 Lid +2 $4.444:44b44 | 5,45,b5,5,5,5,b5 $4.7,3,6,42,5,8 | 5,42,6,3,7,14,8 Locb4 | p4,4,4,4,4,4,44 | b5,5,5,5,b5,5,5 maní COMPLEJO MELÓDICA MENOR 4 44, b4,44,444 | 5,5,5b5,45,b5,5 Sus4 Sus2 47,b3,6,2,5,8 5,2,6,b3,7,4,8 Frig6/Dorb9 | 44444, b4. 4.4 | 5b545b5,5,5,5 Sus4 4 b7,b3,6,b2,5,8 | 5,b2,6,b3,b7,4,8 Lid *5 44444444 b4 | 45,b5,5,5,5,5,b5
$4,b4,44,4,4,4,4 | 5,5,5,5,b5,45,b5
$4,b7,3,6,2,5,8 | 5,2,6,3,b7,4,8
Eol maj/Mixob6 | 4 4 44. b4,44,4,4 | 5,5,b5,45,b5,5,5 | Sus4 Sus 2 4,b7,3,b6,2,5,8 | 5,2,b6,3,b7,4,8
Loc 9/Eo1b5 | 4.4.4,4,44,b4,44 | b5,45,b5,5,5,5,5 4,b7,b3,b6,2,b5,8 | b5,2,b6,b3,b7,5,8
b4,4,4,4,4,4,4 | b5,5,5,5,5,b5,5
154 —
- ARMONÍA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Las disposiciones por cuartas pueden también combinarse con otros intervalos. De esta manera conseguimos insertar estas sonoridades entre acordes muy convencionales, como ya hemos tenido ocasión de comprobar en algunos ejemplos de los capitulos anteriores.
Este caso se da por ejemplo en los acordes mayores con sexta y novena. Disponiendo las notas por cuartas justas a partir de la tercera mayor construimos el acorde. *
Obtenemos un acorde menor con las mismas tensiones (6,9) disponiendo por cuartas las notas a partir del intervalo de séptima menor. (Con un salto +4 en segunda posición)
Para conseguir un acorde cuartal de dominante, disponemos las notas también a partir del intervalo de séptima menor, pero realizamos el salto de cuarta aumentada en primer lugar.
El ejemplo anterior es apropiado como dominante en la tonalidad mayor. Para la tonalidad menor se adapta mejor el mismo acorde pero con la decimotercera menor. Para ello es necesario insertar un salto de cuarta disminuida desde la tercera mayor.
4 . . . / . y . ... Desplegamos la disposición cuartal en los ejemplos hasta alcanzar la nota raíz, pero lo habitual es omitir los dos o tres últimos sonidos. (9,5,8)
=== A 0 A PS 155 5 >-—_—_____—_—_—__—_—_—_—_—__— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.8- DISPOSICIONES POR SEGUNDAS Y "CLUSTERS".
Hasta finales del s. XIX los intervalos de segunda suelen evitarse en la formación de acordes por ser considerados como generadores de disonancia (especialmente los de segunda menor). La crisis de la tonalidad y la experimentación en los inicios del siglo XX amplian la tolerancia auditiva y los compositores hacen uso de los recursos a su alcance con una libertad cada vez mayor. Aunque existen anecdóticos antecedentes históricos, el concepto de "cluster" adquiere su sentido durante las primeras décadas del s.XX. La traducción literal de este término es "racimo", haciendo alusión al conglomerado de notas simultáneas a distancia de semitono, de tono, o incluso a distancias microtonales. Su aplicación ha sido entendida desde las diversas perspectivas vanguardistas que han tenido lugar a lo largo del s.XX, como el politonalismo, el atonalismo, dodecafonismo, incluso en el jazz, donde es también un recurso habitual.
Henry Cowell está considerado entre los pioneros en el uso de esta técnica. En su libro "Nuevos recursos musicales” escrito durante la década de los 20 y publicado en 1930, dedica un extenso capitulo al estudio y la formación de acordes cluster.
La micropolifonia de G. Ligeti en los años sesenta se basa en el desarrollo de masas sonoras que evolucionan con el leve movimiento de intervalos a distancias de segunda generando texturas nebulosas en un lento flujo armónico. Ligeti crea para la orquesta sinfónica clusters de hasta cinco octavas de recorrido en alguna de sus composiciones..
A lo largo de los capitulos anteriores, nos hemos encontrado con diversas situaciones en las que aparecen intervalos de segunda en la formación de acordes. Sucede en los acordes suspendidos así como en las triadas con intervalos de segunda, cuarta o sexta agregada. En estos casos hablamos de disposiciones mixtas que combinan saltos de tercera o cuarta con saltos de segunda.
En la formación de triadas por intervalos de segunda mayor o menor, se generan estas cuatro
combinaciones: 1
1 Y . . . No tenemos en cuenta la segunda aumentada, puesto que por enarmonía su sonoridad es similar a una tercera menor.
q. ÚÓ -á --_—_— o _ _ «._ rc. A 156 5 5853 =—_—_——————————————_—__—___—___— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
En las escalas modales no es frecuente la sucesión de dos intervalos de segunda menor seguidos, pero es posible construir acordes por segundas empleando los intervalos propios de las escalas para un uso tonal y modal de estas sonoridades.
ÁÚÁ EqA <XÉÁAAÉÁÁÉÁ_ AA O 1 57 E __>_————_—___—_—— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
3.9- POLIACORDES
Un poliacorde se forma por la combinación de dos o más acordes interpretados simultáneamente. Los poliacordes generan complejas masas sonoras derivadas de las relaciones interválicas existentes entre las notas que se combinan. Su uso comienza en el Romanticismo tardío y será empleado con frecuencia por los compositores del siglo XX.
La complejidad de su ejecución en un solo instrumento lo convierte en un recurso propio de composiciones orquestales, siendo también bastante habitual entre pianistas (ya que para este instrumento no resulta complicado).
El uso de poliacordes no implica necesariamente un contexto politonal. Esto sucede cuando los subacordes que lo forman se asocian a centros tonales separados. 1
Aunque es posible la formación de poliacordes de tres y hasta cuatro subacordes, los más frecuentes son los de dos. El cifrado más extendido separa los dos (o más) subacordes que lo componen con una barra horizontal (como si de una fracción se tratara). El subacorde de abajo se ubica entre los sonidos graves (mano izquierda en el piano) y el subacorde de arriba entre los agudos (mano derecha en el piano).
D Gm Em Gm Db Bm
También se emplea en su lugar una barra diagonal situando a la izquierda el subacorde de arriba y a la derecha el de abajo, pero este cifrado puede provocar confusión con el cifrado tradicional de los acordes invertidos.
Algunos autores solo consideran el poliacorde como tal cuando los subacordes están claramente separados. Otros en cambio consideran la posibilidad de aproximar los sonidos diluyendo los subelementos en una estructura única.
En muchos casos, un poliacorde puede ser traducido a escritura convencional haciendo uso de las extensiones (séptima, novena, undécima y decimotercera). Los acordes extendidos por su propia naturaleza se forman a través de la superposición de triadas, por lo que algunos poliacordes pueden ser analizados en función de los intervalos generados a partir de una
nota raíz. Así podemos incluso deducir cuáles son las escalas/modos útiles para construir melodías sobre el poliacorde.
D — = ( (91113 ; ( )
1 El concepto de politonalidad es explicado en el capítulo 4.20
¿q AAA==>=> »>IMN _- ---- -ál--<A<AAAúAAAAaAMMMAAÁÓ 158 -35E--—_——_—_—_—_———— ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Un enfoque politonal del poliacorde nos abre las puertas a utilizar simultáneamente modos que encajen en cada uno de los subacordes por separado. De este modo provocamos la convivencia de dos centros tonales distintos.
Db m Db Eólico, Dórico, etc..
Cmaj7 C Jónico, Lídio...
Se atribuye el origen de los poliacordes al pedal bicordal en combinación con un movimiento de triadas.
La evolución de esta técnica desemboca en el movimiento independiente de dos o más triadas simultáneas.
Es frecuente invertir las triadas de los subacordes que forman el poliacorde. Existe una marcada preferencia por las disposiciones abiertas para el subacorde grave. La sonoridad es más clara de este modo, ya que evitamos la formación de una bola de graves al separar los sonidos a distancias de cuarta, quinta o sexta. Los sonidos graves cuentan con armónicos que se desarrollan en registros audibles y su resonancia mejora notablemente.
La sonoridad de los poliacordes puede ser analizada en función de las relaciones interválicas existentes entre los sonidos del subacorde grave y sus armónicos con respecto a las notas del subacorde superior. Cuando las notas agudas coinciden con las graves o con sus primeros armónicos, entran en resonancia generando un efecto “consonante”. A veces, cuando hay notas repetidas es frecuente la omisión para dotar de protagonismo a cada nota del poliacorde. La aparición de clusters de segunda menor puede generar sonoridades más tensas o “disonantes”. En cualquier caso, entramos nuevamente en el pantanoso terreno de la estética musical a la hora de valorar o descartar su uso.
q => _—e_.awm — —_—_ _. — _. => 15 0 E8E>-.——_—_ ——_—====> ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
Al margen de las disposiciones o inversiones que hagamos en un poliacorde, podemos analizar las combinaciones posibles atendiendo a los tipos de triada combinables.
Mayor/Mayor Mayor/Menor Mayor/Aum Mayor/Dism | Mayor/Sus4 | Mayor/Sus+4 Menor/Mayor | MenorMenor |Menor/Aum Menor/Dism Menor/Sus4 Menor/Sus+4 Aum/Mayor Aum/Menor Aum/Aum Aum/Dism Aum/Sus4 Aum/Sus+4 Dism/Mayor Dism/Menor | Dism/Aum Dism/Dism Dism/Sus4 — Dism/Sus+4 Sus4/Mayor —Sus4/Menor — Sus4/Aum Sus4/Dism | Sus4/Sus4 | Sus4/Sus+4
Sus+4/Mayor | Sus+4/Menor | Sus+4/Aum |Sus+4/Dism | Sus+4/Sus4 | Sus+4/Sus+4
Para cada una de estas posibilidades es posible valorar las once o doce combinaciones interválicas posibles a partir de una triada estable que se combina con otra en todos los tonos.
Mayor/Mayor Db Ab Eb Bb F G D A E B Fs Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Menor/Mayor Dbm |Abm Ebm| Bb Fm |Cm Gm Dm Am Em Bm Ffm Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Cc Menor/Menor Dbm Abm Ebm | Bbm Fm Gm Dm Am Em Bm Fim Cm Cm Cm Cm Cm Cm Cm Cm Cm Cm Cm 3 z . 160 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
3. Acordes
. _ __—_«——_—_——___ _ €Qz>-. LU AA — 1 61 3 E5 -————_oBo_0___Q_ epevo—/ÉÁ ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido 3. Acordes
4. MODOS GRIEGOS. MÚSICA MODAL Y TONAL
4.0 Consideraciones previas y marco conceptual.
z 162 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido a
4.20 Politonalidad y polimodalidad.
z 163 ARMONIA MUSICAL. La geometría del sonido
4.0- CONSIDERACIONES PREVIAS Y MARCO CONCEPTUAL
Antes de abordar las cuestiones a tratar en esta cuarta parte, considero necesario recordar el propósito inicial de este trabajo en su globalidad y la perspectiva desde la que nos acercamos a ciertos aspectos musicales. Esto no es estricta y ortodoxamente un libro de armonía moderna (aunque sí utiliza terminología, nomenclaturas y formas de análisis propias de esta tendencia).
Como se explica en la introducción, nuestra motivación es la de llevar a cabo un acercamiento fisico y matemático en torno a la naturaleza del sonido para lograr una comprensión de la realidad musical desde una perspectiva que combine el lenguaje musical con el fenómeno geométrico-ondulatorio. Siguiendo esta pauta hasta el punto en el que nos encontramos, hemos tratado de descifrar las proporciones de los intervalos en el sistema temperado y en la afinación pitagórica estableciendo simultáneamente su cercanía con las proporciones derivadas de la serie armónica. También hemos analizado la naturaleza geométrica del temperamento igual de doce sonidos y hemos estudiado los principales acordes empleados en armonía moderna haciendo uso del cifrado americano.
Los principios de la armonía tonal por supuesto ya están basados en el estudio de la fisica acústica, pero atienden también a criterios estéticos con un importante componente cultural y tradicional. (Especialmente al hablar en términos de “consonancia-disonancia”). La proporción matemática entre intervalos es un hecho empírico constatable, pero su uso musical no es igual a lo largo de la geografía y la historia. Sonidos considerados como "desagradables" en cierto entorno cultural pueden no serlo en otro contexto diferente.
A la hora de realizar una diferenciación clara y precisa entre las denominadas música modal y música tonal nos enfrentamos con una cierta ambigúedad terminológica. Conceptos como son “tonalidad” o “modulación” son actualmente definidos desde la óptica de la música desarrollada en Europa durante los periodos barroco y clásico. Así mismo, la diferenciación entre modal y tonal surge a partir de esta misma óptica para distinguir esta manera de hacer y entender la música frente a la manera antigua propia del Renacimiento, el Medievo y las músicas orientales. En la segunda mitad del s. XIX, los músicos impresionistas y nacionalistas retornan a la variedad modal en sus composiciones inspirados por el folclore popular y el exotismo de los pueblos orientales. La búsqueda de nuevas sonoridades desemboca en el atonalismo y desata la denominada “crisis de la tonalidad” a principios del s. XX.
Se entiende por tonalidad la relación jerárquica entre notas y acordes que adquieren diferentes funciones tonales para resolver cadencialmente sobre la nota que ejerce como centro tonal. Verdaderamente, atendiendo a esta definición no hacemos una auténtica distinción entre música tonal y modal. Por lo general la música